Representations of the Euclidean group in the plane

Summary

The theory of representations of the Euclidean algebra and group in the planeE ₂ is investigated from a very general and basic point of view. A master representation is obtained for both the algebra as well as for the group. This master representation induces (subduces) all the representations ofE ₂ which are studied in this paper. The master representation is defined on the space of the universal enveloping algebra Ω ofE ₂, whose basis vectors are labelled by three (discrete) parameters. The finite-dimensional (linear, indecomposable) representations which are induced by the master representation are classified, both for the algebra and for the group. The bases for these representations are given and for the group the finite matrix elements. While the result regarding the classification of thefinite-dimensional indecomposable representations has been published, without proofs, we give here the proofs of the theorems. Moreover, the three- and four-dimensional representations of the Euclidean algebra and group, which are induced by the master representation, are obtained in this paper in explicit form.Infinite-dimensional indecomposable representations which are induced by the master representation are discussed at the level of both the algebra and the group. The familiar result of the infinite-dimensional irreducible representations is obtained as a final, and rather special, case of representations induced by the (indecomposable) master representation. The matrix elements for all representations of the groupE ₂ which are discussed here are given in explicit form. Due to the particular approach taken in this paper, relations among functions representing matrix elements in different representations are obtained.

Riassunto

Si studia la teoria delle rappresentazioni dell’algebra e del gruppo euclidiano nel pianoE ₂ da un punto di vista generale e di base. Si è ottenuta una rappresentazione principale sia per l’algebra che per il gruppo. Questa rappresentazione introduce tutte le rappresentazioni diE ₂ che sono studiate in questo articolo. La rappresentazione principale è definita sullo spazio dell’algebra universale d’inviluppo Ω diE ₂, i cui vettori di base sono indicati con tre parametri (discreti). Le rappresentazioni a dimensioni finite (lineari, non scomponibili) che sono indotte dalla rappresentazione principale sono classificate sia per l’algebra che per il gruppo. Si danno le basi per queste rappresentazioni e per il gruppo gli elementi finiti di matrice. Mentre il risultato che riguarda la classificazione delle rappresentazioni a dimensionifinite non scomponibili è stato pubblicato senza dimostrazione, si danno qui le dimostrazioni dei teoremi. Inoltre, si ottengano qui in forma esplicita le rappresentazioni a tre e a quattro dimensioni dell’algebra e del gruppo euclideo, che sono indotti dalla rappresentazione principale. Le rappresentazioni non scomponibili a dimensioniinfinite che sono indotte dalla rappresentazione principale sono discusse sia a livello dell’algebra che a livello del gruppo. Si ottiene come caso finale, e abbasta particolare, di rappresentazioni indotte dalla rappresentazione principale (non scomponibile) il solito risultato delle rappresentazioni irriducibili a dimensioni infinite. Gli elementi di matrice di tutte le rappresentazioni del gruppoE ₂ discusse qui sono date in forma esplicita. In sèguito al particolare approccio usato in questo lavoro, si ottengono relazioni tra le funzioni che rappresentano gli elementi di matrice nelle diverse rappresentazioni.

Резюме

Исследуется теория представлений эвклидовой алгебры и группы в плоскостиE ₂. Получается управляющее представление для алгебры и группы. Это управляющее представление индуцирует все представленияE ₂, которые рассматриваются в этой статье. Управльющее представление определяется на пространстве универсальной огибающей алгебры Ω дляE ₂, базисные векторы которых определяются с помощью трех (дискретных) параметров. Для алгебры и группы классифицируются конечно-мерные представления, которые индуцируются управляющим представлением. Определяется основа для этих представлений и для конечных матричных элементов группы. Так как результат, касающийся классификации конечно-мерных неприводимых представлений, был опубликован без доказательства, то мы приводим в этой работе доказательства теорем. Кроме того, в этой сттье в явной форме получаются трех-и четырехмерные представления эвклидовой алгебры и группы, которые индуцированы управляющим представлением. Обсуждаются бесконечно-мерные неприводимые представления, которые индуцированы управляющим представлением на уровне алгебры и на уровне группы. Получается аналогичный результат для бесконечно-мерных неприводимых представлений, как довольно специальный случай представлений, индуцированных (неприводимым) управляющим представлением. В явном виде записываются матричные элементы для всех представлений группыE ₂, которые обсуждаются в этой статье. С помощью подхода, развитого в этой статье, получаются соотношения между функциями, представляющими матричные элементы в различных представлениях.