On obtaining strictly invariant Lagrangians from gauge-invariant Lagrangians

Summary

We consider Lagrangian dynamical systems on tangent bundles of differentiable manifolds whose Lagrangian functions are gauge invariant under the action of a Lie group on the base manifold. We then obtain necessary and sufficient conditions for finding a function on the base manifold whose time derivative, if added to the gauge-invariant Lagrangian, yields a strictly invariant one. The problem is transported from the tangent bundle also to the cotangent bundle.

Riassunto

Si considerano sistemi dinamici sul fibrato tangente di una varietà differenziabile con lagrangiane gauge-invarianti sotto l’azione di un gruppo di Lie sullo spazio di base. Si ottengono condizioni necessarie e sufficienti per l’esistenza di una funzione sulla varietà di base la cui derivata temporale, aggiunta alla lagrangiana gauge-invariante, la rende strettamente invariante. Lo stesso problema è riformulato sul fibrato cotangente.

Резюме

Мы рассматриваем Лагранжевы динамические системы на тангенциальных семействах дифференцируемых множеств, Лагранжевы функции которых являются калибровочно инвариантными относительно действия группы Ли на основном множестве. Затем мы получаем необходимые и достаточные условия для определения функции на основном множестве, временная производная которой, при добавлении к калибровочно инвариантному Лагранжиану, дает явно инвариантный Лагранжиан. Обсуждается проблема перехода от тангенциального сешейства к котангенциальному семейству.