Reduction of the electromagnetic vector potential to the irreducible representations of the inhomogeneous Lorentz group

Summary

In a previous paper we showed how the electromagnetic vector potential could be reduced to the irreducible representation of the inhomogeneous Lorentz group corresponding to particles with zero mass and spin 1, which are identified with photons. When the photon amplitudes were replaced in a suitable fashion by annihilation and creation operators, a covariant second-quantized theory was obtained in which the Lorentz condition is satisfied identically and in which the norm of the Hilbert space is positive definite. In the present paper we use the results of another of our papers to transform the photon wave functions from the linear momentum representation to the angular momentum representation. The vector potential, when second quantized, then takes the form of an expansion in terms of vector spherical harmonics in which the amplitudes are an nihilation and creation operators which create and destroy photons with a specific angular momentum. This expansion is a covariant quantum analogue of the expansion in multipoles of classical electromagnetic theory due to Blatt and Weisskopf and leads to the usual selection rules for atomic transitions.

Riassunto

In un precedente articolo si è mostrato come il potenziale vettoriale elettromagnetico possa essere ridotto alla rappresentazione irriducibile del gruppo di Lorentz non omogeneo corrispondente a particelle di massa nulla e spin 1, identificate coi fotoni. Dopo aver sostituito in modo opportuno le ampiezze dei fotoni con operatori di annichilazione e di creazione, si è ottenuta una teoria covariante in seconda quantizzazione nella quale la condizione di Lorentz è identicamente soddisfatta ed in cui la norma dello spazio hilbertiano è positiva definita. In questo articolo si fa uso dei risultati di un altro dei nostri articoli per trasformare le funzioni d’onda del fotone dalla rappresentazione dell’impulso lineare alla rappresentazione dell’impulso angolare. Il potenziale vettoriale, quantizzato per la seconda volta, prende la forma di uno sviluppo in termini delle armoniche vettoriali sferiche in cui le ampiezze sono operatori di creazione e annichilazione che creano e distruggono fotoni con uno specifico momento angolare. Questo sviluppo è l’analogo quantistico covariante dello sviluppo, in multipoli della teoria elettromagnetica classica dovuta a Bilatt e Weisskopf e porta alle usuali regole di selezione per le transizioni atomiche.

Резюме

В предыдущей работе мы пожазали, как электромагнитный векторный потенциал может быть приведен к непр иводимомы представлению неоднородной группы Лорентца, соответствуюцей частицам с нулевой массой и единичным спином, которые идентичны с фотонами. После гого, как амплитуды фотона были заменены удобным образом операторами рождения и уничюжения, была получена ковариантная теория вторичного квантования, в которой условие Лорентца удовлетворяется тождественно и в которой норма Гильбертова пространства является положительно определенной величиной. В этой статье мы использу ем результаты других наших статей, чтобы преобразовать волновые функции фотона из импульсного представления в представление угловото момента. Векторный потенциал, когда производится вторичное квантование, берется в виде разложения по членам векторных сферических гармоник, в которых амплитуды представляют операторы рождения и уничтожения, которые рождают и уничтожают фотоны с определенным угловы м моментом. Это разложение является ковариантным квантсвым аналогом для разложени я по мультиполим в классической теории злектромарнитного поля, следуя Блатту и Вайсскопфу, и зто разложение приводит к обычным правилам отбора для атомных переходов.