Eigenfunction expansion for fractional Brownian motions

Summary

The fractional Brownian motions, a class of nonstationary stochastic processes defined as the Riemann-Liouville fractional integral/derivative of the Brownian motion, are studied. It is shown that these processes can be regarded as the output of a suitable linear system of which the input is the white noise. Their autocorrelation is then derived with a study of their standard-derivation curves. Their power spectra are found by resorting to the nonstationary spectral theory. And finally their eigenfunction expansion (Karhunen-Loève expansion) is obtained: the eigenfunctions, are proved to be suitable Bessel functions and the eigenvalues zeros of the Bessel functions.

Riassunto

Si studiano i moti browniani frazionari, una classe di processi stocastici non stazionari definiti come l’integrale frazionario, o la derivata frazionaria, di Riemann-Liouville del moto browniano. Si dimostra che questi processi possono essere considerati come l’uscita di un opportuno sistema lineare il cui ingresso è il rumore bianco. Successivamente l’autocorrelazione è dedotta e si discutono le curve dello scarto quadratico medio. Si trovano gli spettri di potenza ricorrendo alla teoria spettrale non stazionaria. Infine si ottiene lo sviluppo in serie di autofunzioni (sviluppo di Karhunen-Loève): le autofunzioni risultano essere opportune funzioni di Bessel, e gli autovalori zero di altre funzioni di Bessel.

Резюме

Исследуются относительные броуновские движения, класс нестационарных стохастических процессов. Показывается, что эти процессы могут рассматриваться как выход соответствующей линейной системы, на входе которой имеется белый шум. Затем выводится автокорреляция и исследуются кривые стандартного отклонения. Используя нестационарную спектральную теорию, получаются степенные спектры этих процессов. В заключение рассматривается разяожение по собственным функциям. Доказывается, что собственные функции есть функции Бесселя, а собственные значения суть нули другнх бесселевых функций.