A reformulation of the post-Newtonian approximation to general relativity

Summary

A new form of a first post-Newtonian approximation to general relativity is presented, according to an iteration scheme, for solving Einstein’s equation for isolated, self-gravitating systems, recently formulated by Ehlers. The post-Newtonian metric is constructed and the corresponding equations of motion are set up in two iteration steps. The computation is based on a reduced field equation which is obtained from the full equation by dropping some terms which vanish in harmonic co-ordinates. The equivalence of the harmonicity condition for the co-ordinates to the local equations of motion is proved in the post-Newtonian approximation. It is shown that the full Einstein equation is approximately satisfied provided the local equations of motion are. Finally, a method with rigorous error estimates is developed, in order to obtain the components of the metric tensorg _ab, oncek ^ab: =η ^ab − √−gg ^ab = (g = det (g _ab )) are known.

Riassunto

Si presenta una nuova forma di prima approssimazione postnewtoniana alla relatività generale, ottenuta secondo un metodo di iterazione recentemente formulato da Ehlers per risolvere l’equazione di Einstein nel caso di sistemi isolati e autogravitanti. La metrica postnewtoniana e le corrispondenti equazioni del moto sono costruite per mezzo di due iterazioni. Il calcolo è basato, su un’equazione di campo ridotta, ottenuta dall’equazione completa omettendo alcuni termini che si annullano in coordinate armoniche. L’equivalenza tra le condizioni di armonicità per le coordinate e le equazioni locali del moto è dimostrata nella prima approssimazione postnewtoniana. Si dimostra che in questa approssimazione l’equazione di Einstein complete è soddisfatta se le locali equazioni del moto lo sono. Un metodo con rigorose stime dell’errore si sviluppa nell’appendice con lo scopo di ottenere le componenti del tensore metricog _ab, una volta notek ^ab: =η ^ab − √−gg ^ab.

Резюме

Предлагается новая формулировка пост-ньютоновского приближения для общей теории относительности в соответствии с итерационной схемой решения уравнения Эйнштейна для изолированных само-тяготеющих систем, недавно предложенной Элерсом. Конструируется пост-ньютоновская метрика и выводятся соответствующие уравнеия движения. Вычисления основываются на приведенном уравнении лоля, которое получено из полного уравнения посредством отбрасывания некоторых членов, которые исчезают в гармонических координатах. В пост-ньютоновском приближении доказывается эквивалентность гармонического условия для координат и локакьных уравнений движения. Показывается, что полное уравнение эйнштейна удовлетвовяется приближенно, если уравнения движения являются локалюныи. В приложении развивается метод со строгими оценками погрешностей, для, того, чтобы получить компоненты метрическтого тензораg _ab, еслиk ^ab: =η ^ab − √−gg ^ab (g = det (g _ab )) являются известными.