A study of the relaxation of electron velocity distributions in gases

Summary

The Fokker-Planck equation governing the relaxation of the electron speed (energy) distribution in gases is solved in a number of cases of special interest. The solution is given in terms of eigenfunctions of the Fokker-Planck operator, satisfying an orthonormalization condition in which the steady-state distribution is the weight function. The real cross-sections of the noble gases He, Ne, Ar, Kr and Xe, together with model collision frequencies of the form ν(υ)=αυⁿ withn=0.5, 1, 1.5, 3 and 3.5, are used to calculate eigenvalues and eigenfunctions. The first fifteen eigenvalues are obtained in each case both in the absence and in the presence of a d.c. electric field and, in the latter case, both with atoms at rest and atoms in motion. Calculations of relaxation times and examples of evolutions towards their steady-state forms of given initial distributions are reported in several particular cases.

Riassunto

L’equazione di Fokker-Planck che governa il rilassamento delle distribuzione della velocità (energie) di elettroni in gas è risolta in diverse situazioni di particolare interesse. La soluzione è data in termini di autofunzioni dell’operatore di Fokker-Planck, soddisfacenti una condizione di ortonormalizzazione nella quale la distribuzione stazionaria interviene come funzione peso. Autofunzioni ed autovalori sono stati calcolati in corrispondenza delle sezioni d’urto reali dei gas nobili He, Ne, Ar, Kr e Xe e di alcuni modelli di frequenze di collisione della forma ν(υ)=αυⁿ. In corrispondenza di ogni sezione d’urto, reale o no, i primi quindici autovalori e le corrispondenti autofunzioni sono stati calcotati sia in assenza che in presenza di un campo elettrico uniforme e costante e, nel secondo caso, sia con atomi a riposo che in moto. Nel presente lavoro, per diversi casi particolari, si riportano esempi di evoluzioni verso la forma stazionaria di date distribuzioni iniziali e si indicano i relativi tempi di rilassamento.

Резюме

В ряде случаев, представляющих физический интерес, решается уравнение Фоккера-Планка, определяющее релаксацию распределения электронов по скоростям (по энергиям). Решение представляется через собственные функции оператора Фоккера-Планка, удовлетворяющие условию ортонормированности. Распределение стационарного состояния представляет весовыю функцию. Для вычисления собственных значений и собственных функций используутся реальные поперечные сечения для благородных газов He, Ne, Ar, Kr и Xe вместе с модельными частотами соударений в виде ν(υ)=αυⁿ сn=0.5, 1, 1.5, 3 и 3.5. В каждом случае определяются первые пятнадцать собственных значений при наличии и в отсутствие постоянного электрического поля. При наличии электрического поля рассматриваются случаи покоящихся атомов и случай движущихся атомов. В некоторых частных случаях проводятся вычисления времен релаксации и рассматриваются примеры эволюции к стационарным распределениям для заданных начальных распределений.