Highly accurate, explicit expression of lateral-and longitudinal-diffusion coefficients for free electrons in a scattering medium

Summary

The diffusion of free electrons is studied in weakly ionized gases (or in intrinsic semiconductors) under a steady-state and uniform electric fieldE and with elastic-collision frequency ν much larger than the inelastic one. The explicit expressions of the lateral- and longitudinal-diffusion coefficients are obtained with an accuracy of order ε²=m/M, wherem andM are the masses of the electron and of a scattering molecule, respectively. The unphysical divergences which would arise by a Legendre expansion truncated after four terms (the usual two-term expansion is not sufficient for obtaining the desired accuracy) are eliminated by a Taylor expansion outside the origin (the latter corresponds to zero accelerationa=e E/m) in the equivalent method of the mean free paths. The auxiliary termb introduced for expanding outsidea=0 has been found by comparing the approximate expansions containingb with the expansions of rigorous solutions which can be obtained in particular cases.

Riassunto

Il coefficiente di diffusione per elettroni liberi è esaminato in gas debolmente ionizzati (o in semiconduttori intrinseci), sotto l’azione di un campo elettricoE uniforme e stazionario e con una frequenza di collisione elastica ν molto più grande di quella anelastica. Le espressioni esplicite dei coefficienti di diffusione laterale e longitudinale sono ottenute con una precisione dell’ordine di ε²=m/M, dovem edM sono, rispettivamente, la massa dell’elettrone e quella molecola. Le divergenze non fisiche che sorgerebbero se si usasse uno sviluppo di Legendre troncato dopo quattro termini (l’usuale troncatura dopo due termini non è sufficiente per ottenere la precisione voluta) sono climinate mediante l’uso di uno sviluppo di Taylor al di fuori dell’origine (la quale corrisponde ad accelerazionea=e E/m nulla) nell’ambito dell’equivalente metodo dei liberi cammini medi. Il termine ausiliariob introdotto per ottenere lo sviluppo al di fuori dia=0 è trovato paragonando gli sviluppi approssimati contenentib con i corrispondenti sviluppi di soluzioni rigorose che possono essere trovate in casi particolari.

Резюме

Исследуется диффузия в слабоионизованных газах (или в собственных полупроводниках) в стационарном и однородном электрическом полеE и в случае, когда частота упругих соударений ν много больше, чем частота неупругих соударений. Получаются явные выражения для поперечных и продольных коэффициентов диффузии с точностью порядка ε²=m/M, гдеm иM соответственно массы электрона и рассенвающей молекулы. Нефизические расходимости, которые могли бы возникнуть при обрезании разложения по полиномам Лежандра после четырех членов (обычное разложение с двумя членами не достаточно для получения желаемой точности), исключаются посредством разложения в ряд Тейлора вне нулевой точки (которая соответствует нулевому ускорениюa=e E/m) в эквивалентном методе для средних длин свободного пробега. Вспомогательный членb, который вводится для расширения на область внеa=0, получается из сравнения разложений, содержащихb, с разложениями строгих решений, которые могут быть получены в частных случаях.