Stochastic mechanics and stochastic quantization

Summary

Criteria are proposed that will allow one to decide when a physical theory is a «stochastic mechanics». The standard formulation of stochastic quantization at zero temperature is shown to not satisfy these criteria. By analysing the incompatibilities with Fokker-Planck dynamics, stochastic quantization is modified to give a true stochastic mechanics. As a direct consequence, Davidson’s freedom in the diffusion constant disappears. Positive-temperature versions of stochastic quantization are also shown not to be a stochastic mechanics either. To do this, the Guerra-Loffredo version must be generalized from the case of the oscillator to arbitrary potentials with one minimum. A positive-temperature version of stochastic mechanics for the equilibrium situation is developed. Equilibrium fluctuations around the classical oscillator trajectory are shown to include Guerra and Loffredo’s coherent states and Skagerstam’s result on dissipative diffusion. General coherent states and connections with Euclidean quantum mechanics are also discussed.

Riassunto

Si propongono dei criteri che permettono di decidere quando una teoria fisica è una «meccanica stocastica». Si mostra che la formulazione standard della quantizzazione stocastica a temperatura zero non soddisfa questi criteri. Analizzando le incompatibilità con la dinamica di Fokker-Plank, si modifica la quantizzazione stocastica per dare una vera meccanica stocastica. Come conseguenza diretta, nella costante di diffusione scompare la libertà di Davidson. Si mostra che neanche le versioni a temperatura positiva della quantizzazione stocastica sono meccaniche stocastiche. Per far questo la versione di Guerra-Loffredo deve essere generalizzata dal caso dell’oscillatore a potenziali arbitrari con un minimo. Si sviluppa una versione a temperatura positiva della meccanica stocastica per la situazione di equilibrio. Si mostra che le fluttuazioni di equilibrio intorno alla traiettoria classica dell’oscillatore includono gli stati coerenti di Guerra e Loffredo e i risultati di Skagerstam sulla diffusione dissipativa. Si discutono inoltre gli stati coerenti generali e le connessioni con la meccanica quantistica euclidiana.

Резюме

Предлагаются критерии, которые позволяют определить, когда физическая теория является «стохастической механикой». Показывается, что стандартная формулировка стохастического квантования при нулевой температуре не удовлетворяет этим критериям. Анализируя несовместимости с динамикой Фоккера-Планка, стохастическое квантование видоизменяется так, чтобы получить истинную стохастическую механику. В результате этого свобода Давинсона в постоянной диффузии исчезает. Показывается, что варианты стохастического квантования с положительной температурой не являются стохастической механикой. Для получения стохастической механики необходимо вариант Гуерра-Лофредо обобщить от случая осциллятора на произвольные потенциалы с одним минимумом. Развивается вариант стохастической механики с положительной температурой для равновесной ситуации. Показывается, что равновесные флуктуации около траектории классического осциллятора включают когерентные состояния Гуерра и Лофредо и результат Скагерстама для диссипативной диффузии. Также обсуждаются общие когерентные состояния и связь с эвклидовой квантовой механикой.