The Hilbert space of quantum gravity

Summary

In a recent paper one of us (MC) suggested a new approach to the quantization of the gravitational field—a presentation of gravity as the Hilbert space of the quantized system. This approach is developed and extended in the present paper. States in the Hilbert space are defined in terms of the representation of the Weyl tensor in the Newman-Penrose formulation of general relativity. The determination of first-order states in perturbation theory is shown to reduce to a solution of a set of equations for the coefficients of the expansion of one complex function in the matrix elements of the irreducible representations of the groupSU ₂. For exact (nonperturbative) solutions it is shown that in the stationary case each solution of the field equations corresponds to a unique state in the Hilbert space. When gravitational radiation is present, an additional parameter is introduced. The classification of states in the Hilbert space is given.

Riassunto

In un recente lavoro uno degli autori ha suggerito un nuovo approccio alla quantizzazione del campo gravitazionale che consiste nel presentare la gravità come lo spazio di Hilbert dei sistemi quantizzati. In questo lavoro si sviluppa e si estende questo approccio. Gli stati nello spazio di Hilbert sono definiti in termini della rappresentazione del tensore di Weyl nella formulazione della relatività generale di Newman-Penrose. Si mostra che la determinazione degli stati del prim’ordine nella teoria delle perturbazioni si riduce ad una soluzione di un sistema di equazioni peri coefficienti dello sviluppo di una funzione complessa negli elementi matriciali delle rappresentazioni irriducibili del gruppoSU ₂. Per soluzioni esatte (non perturbative) si mostra che nel caso stazionario ogni soluzione delle equazioni di campo corrisponde ad uno stato unico nello spazio di Hilbert. Quando è presente la radiazione gravitazionale, si aggiunge un parametro. Si dà la classificazione degli stati nello spazio di Hilbert.