On symmetries and first integrals of dynamical systems

Summary

A previous result according to which, given a symmetry vector of a dynamical system, under certain co-ordinate-dependent conditions, a first integral could be expressed as the divergence of the symmetry vector has been generalized. By introducing convenient connections it is found that not only one but a set of first integrals can, in general, be interpreted as divergences of a single symmetry vector. It is also shown that any symmetry vector is a linear combination of a maximal independent set of symmetry vectors of the same dynamical system with first integrals as coefficients. This leads to other relationships between first integrals andsets of symmetry vectors. Finally it is seen how a type-(r, s) tensor invariant of the one-parameter group generated by a dynamical system yieldsr generally different type-(r−1),s) tensor invariants. This is, in a sense, a further generalization of the former result. The type-(r, s) tensor invariant also leads to a type-(r, s+1) tensor invariant of the same dynamical system.

Riassunto

Si è generalizzato un precedente risultato secondo il quale, dato un vettore di simmetria di un sistema dinamico, in certe condizioni dipendenti dalle coordinate, un integrale primo potrebbe essere espresso come la divergenza del vettore di simmetria. Introducendo connessioni adeguate, si è mostrato che non solo uno, ma un gruppo d’integrali primi possono in generale essere interpretati come divergenze di un singolo vettore di simmetria. Si è anche mostrato che qualsiasi vettore di simmetria è una combinazione lineare di un gruppo indipendente massimale di vettori di simmetria dello stesso sistema dinamico con integrali primi come coefficienti. Ciò porta ad altre relazioni tra integrali primi egruppi di vettori di simmetria. Infine si è visto come un invariante tensoriale di tipo (r, s) del gruppo ad un parametro generato da un sistema dinamico diar, generalmente differenti, invarianti tensoriali di tipo (r−1,s). Cio è, in un certo senso, un’ulteriore generalizzazione del primo risultato. L’invariante tensoriale di tipo (r, s) porta anche ad un invariante tensoriale di tipo (r, s+1) dello stesso sistema dinamico.

Резюме

Обобщается предыдущий результат, согласно которому при определенных условиях, зависящих от координат, первый интеграл может быть выражен как дивергенция вектора симметрии. Вводя соответствующие соотношения, получается, что н⪂ только один, но и система первых интегралов может быть, в общем случае, интерпретирована как дивергенция единственного вектора симметрии. Также показывается, что любой вектор симметрии представляет линейную комбинацию максимальной независимой системы векторов симметрии динамической системы с первыми интегралами в качестве коэффициентов. Это приводит к другим соотношениям между первыми интегралами и системами векторов симметрии. В заключение, показывается, как инариант (r, s) тензора однопараметрической группы, образованной динамической системой, даетr различных инвариантов (r−1,s) тензора. Это представляет дальнейшее обобщение предыдущего результата. Инвариант (r, s) тензора также приводит к инварианту (r, s+1) тензора для той же динамической системы.