Rational reflection coefficients and inverse scattering on the line

Summary

Inverse scattering for the Schrödinger equation on the line is studied for reflection and transmission coefficients that satisfy the usual regularity conditions and are rational functions ofk. The origin is still a particular point, but the potentials do not need to be cut at this point like in previous studies. Giving up this restriction corresponds to the existence of poles for both reflection coefficients in both upper and lower halfk-planes. It is shown that the problem reduces to solving a linear algebraic system. A different algorithm, made of a sequence of Darboux-Backlund transforms, gives also the solution in closed form and enables to study separately modifications of both sides of the potential due to the introduction of poles. Thus it paves the way for approximation studies. Generalizations and particular problems will be studied in forthcoming papers.

Riassunto

Si studia lo scattering inverso per l’equazione di Schrödinger sulla linea per i coefficienti di riflessione e trasmissione che soddisfano le usuali condizioni di regolarità e sono funzioni razionali dik. L’origine è ancora un punto particolare, ma i potenziali non devono essere tagliati in questo punto come in studi precedenti. Rinunciare a questa restrizione corrisponde all’esistenza di poli per entrambi i coefficienti di riflessione sia nella metà superiore che inferiore del pianok. Si mostra che il problema si riduce alla soluzione di un sistema algebrico lineare. Un algoritmo diverso, fatto di una sequenza di trasformazioni di Darboux-Backlund, dà anche la soluzione in forma chiusa, e ci permette di studiare separatamente le modificazioni di entrambi i lati del potenziale dovute all’introduzione di poli. Cosí si apre la via agli studi di approssimazione. Generalizzazioni e problemi particolari saranno studiati in lavori futuri.

Резюме

Исследуется обратное рассеяние для уравнения Шредингера на линии для коэффициентов отражения и прохождения, которые удовлетворяют обычным условиям регулярности и представляют рациональные функцииk. Начало является особой точкой, но потенциалы не требуют обрезания в этои точке, как делалось в предыдущих работах. Указанное ограничение соответствует существованию полюсов для коэффициентов отражения в верхней и в нижней полуплоскостях переменнойk. Показывается, что проблема сводится к решению линейной алгебраической системы. Другой алгоритм, с использованием последовательности преобразований Дарбу-Бэклунда, также дает решение в замкнутой форме и позволяет исследовать изменения потенциалов, связанные с введением полюсов. Этот подход подготавливает путь для приближенных рассмотрений. В последующих работах будут рассмотрены обобщения и конкретные проблемы.