A closed-loop-controlled stochastic process in the dynamics of a mass point in wave mechanics

Summary

The purpose of this paper is to introduce the concept of closed-loop control of a stochastic process associated with the motion of a nonrelativistic random particle without spin in a given deterministic field of the Euclidean space. The state equation is a Fokker-Planck equation in which the drift is the value of the control depending on the past or future values of the state. It is shown that such an equation can be derived without Markovian assumption. For a particular choice of the control, the state equation reduces to a continuity equation along the lines of the given field. The stochastic processes having the state as first probability density have also their conditional probability density depending on the state in such a way that they are not Markovian in general.

Riassunto

Lo scopo di questo lavoro è introdurre il concetto di controllo a cappio chiuso di un processo stocastico associato con il movimento di una particella non relativistica stocastico senza spin in un campo deterministico dato dello spazio Euclidiano. L’equazione di stato è un’equazione di Fokker-Planck nella quale lo spostamento è il valore del controllo che dipende dai valori passati e futuri dello stato. Si è mostrato che tale equazione può essere derivata senza l’ipotesi markoviana. Per una particolare scelta del controllo, l’equazione di stato si è ridotta a un’equazione di continuità lungo le linee di un campo dato. I processi stocastici che hanno lo stato come prima densità di probabilità hanno anche la loro densità di probabilità condizionale che dipende dallo stato in modo tale che essi non sono Markoviani in generale.

Резюме

Цель этой статьи—ввести концеицию контроля с замкнутой петлей стохастического продесса, связанного с движением релятивистской случайной частицы без спина в заданном детыeрминированном поле эвклидова пространства. Уравнение состояния представляет уравнение Фоккера-Планка, в котором дрейф представляет контроль, зависящий от прошлых или будущих величин состояния. Показывается, что такое уравнение может быть выведено без предположения о марковости процесса. Для специального выбора контроля, уравнение состояния сводится к уравнению непрерывности вдоль линий данного поля. Стохастические процессы, обладающие вероятностной плотностью, также имеют плотность условной вероятности, в зависимости от состояния, таким образом, они в общем случае не являются Марковскими.