Singularities and discontinuities of the triangle graph, as a function of an internal mass

Summary

The triangle graph for three-body production or decay processes is considered as a function of an internal mass. The discontinuities of the graph with respect to this variable are of special importance, since they form the kernel of the integral equation which determines all rescattering effects due to competing two-body final-state interactions. The main part of the kernel is given by one particular discontinuity, and this is recalculated here by dispersion methods which are basically well understood. The result agrees with that previously found by the use of Cutkosky's rules supplemented by some techniques of homology theory. It is gratifying that the result can be obtained by relatively straightforward methods; and that Cutkosky's rules can indeed be used for calculating the discontinuity in an internal mass variable. A byproduct of the calculation is a prescription for calculating the discontinuity of the graph in a given channel from a single-variable representation of it in a crossed channel. Applications to three-particle processes are mentioned.

Riassunto

Si studia il grafico triangolare per i processi di produzione o decadimento di tre corpi in funzione di una massa interna. Le discontinuità del grafico rispetto a questa variabile sono di speciale importanza, poichè formano il nòcciolo dell'equazione integrale che determina tutti gli effetti di riscattering dovuti alla competizione delle interazioni dello stato finale di due corpi. La parte principale del nòcciolo è data da una particolare discontinuità, ed essa è qui nuovamente calcolata con metodi di dispersione che sono fondamentalmente ben conosciuti. I risultati concordano con quelli trovati precedentemente con l'uso delle regole di Cutkosky completate con alcune tecniche della teoria dell'omologia. È soddisfacente che i risultati possano essere ottenuti con metodi relatimente immediati; e che le regole di Cutkosky possano proprio essere usate per calcolare la discontinuità in una variabile di massa interna. Un risultato accessorio del calcolo è una prescrizione per calcolare la discontinuità del grafico in un dato canale da una sua rappresentazione in una sola variabile in un canale incrociato. Si accenna alle applicazioni ai processi di tre particelle.