Is the Heisenberg picture better than the Schrödinger picture?

Summary

In an infinite system of spins, it is shown that rotations may be represented equivalently in Schrödinger or Heisenberg picture. The operator of finite rotations which connects the two pictures acts over a nonseparable Hilbert space and is unitary. It is not however differentiable with respect to the angle of rotation. Consequently, infinitesimal rotations can only be described in the Heisenberg picture. It is argued that a similar case may arise concerning time development of a system of an infinite number of degrees of freedom. If it does, we have within a nonseparable Hilbert space unitarily equivalent Schrödinger and Heisenberg pictures. But differential equations of motion may be stated in the Heisenberg picture only, except in the subspace of «physical states».

Riassunto

Si dimostra che in un sistema infinito di spin le rotazioni si possono rappresentare in modo equivalente nella raffigurazione di Schrödinger o in quella di Heisenberg. L'operatore delle rotazioni finite che connette le due raffigurazioni agisce su uno spazio hilbertiano non separabile ed è unitario. Tuttavia non è differenziabile rispetto all'angolo di rotazione. Di conseguenza le rotazioni infinitesime si possono descrivere solo nella raffigurazione di Heisenberg. Si pensa che un caso simile possa sorgere riguardo allo sviluppo nel tempo di un sistema con un numero infinito di gradi di libertà. Se è così, si hanno in uno spazio hilbertiano raffigurazioni di Schrödinger e di Heisenberg unitariamente equivalenti. Ma le equazioni di moto differenziali possono essere espresse solo nella raffigurazione di Heisenberg, salvo che nel sottospazio degli «stati fisici».