On relativistic thermodynamics

Summary

By a procedure based on Stefan and Boltzmann’s laws (in finite terms) Tolman and Ehrenfest proved in 1930 that in case of thermodynamic equilibrium with a static co-moving metric −g _αβ dx ^αdx ^β the pocket temperatureT√-g ₀₀ (T being the absolute proper temperature) is constant. In the present paper at first this result is generalized to the case of a stationary co-moving metric by another procedure based again on the above laws in finite terms. Then, on the basis of this procedure, a relativistic version of Fourier’s law on heat conduction is written. This law is also characterized as one of a certain general type, which is compatible with the above laws, is linear and, in case of viscosity, satisfies an additional spontaneous condition. The above version of Fourier’s laws coincides with the one proposed by Eckart in 1940 as the simplest hypothesis enabling us to prove, in a certain theory of viscous fluids in special relativity, a relativistic version of Clausius-Duhem’s inequality. A direct relativization of Fourier’s law is preferred to the preceding proposal by various authors also in recent papers. Instead, an aim of the present work is to show the compulsory character of the preceding proposal of Eckart by reaching this same statement in a way independent of Clausius-Duhem’s inequality which, unlike the above laws in finite terms, possesses many a spontaneous relativization because it contains derivatives (a divergence). The principle of material indifference (which was enunciated recently in the classical theory of materials and is of importance especially in connection with hereditary phenomena) was carried into relativity in a spontaneous «direct» way by many an author. However the relativistic version obtained in this way is not compatible with the abovementioned result by Tolman Ehrenfest. A new relativistic version of the above principle, which realizes the considered compatibility, is proposed and some easy consequence of it is considered in the non-hereditary case.

Riassunto

Nel 1930, con un procedimento basato sulle leggi di Stefan e Boltzmann (in termini finiti) Tolman ed Ehrenfest hanno dimostrato che, nel caso di equilibrio termodinamico con metrica solidale (al corpo mobile) — −g _αβ dx ^αdx ^β statica, è costante la temperatura tascabileT √−g ₀₀ (T essendo la temperatura assoluta propria). Nel presente lavoro dapprima generalizzo il suddetto risultato al caso di metrica solidale stazionaria mediante un altro procedimento sempre basato sulle suddette leggi in termini finiti. Poi, usando tale procedimento, serivo una versione relativistica della legge di Fourier sulla conduzione termica. Questa viene anzi caratterizzata come quella di un certo tipo generale, la quale sia compatibile con le leggi in discorso, sia lineare e, nel caso di viscosità, verifichi una spontanea ulteriore condizione. La versione in discorso della legge di Fourier coincide con quella proposta nel 1940 da Eckart solo come la più semplice ipotesi permettente di dimostrare, in una certa teoria dei fluidi viscosi in relatività ristretta, una versione relativistica della disequazione di Clausius-Duhem. Una diretta relativizzazione dell’ipotesi di Fourier è preferita alla suddetta proposta da vari autori in lavori anche recenti. Invece, col presente lavoro ci si propone di mostrate il carattere, direi, obbligatorio della suaccennata proposta di Eckart giungendo a questa per una via indipendente dalla diseguaglianza di Clausius-Duhem la quale, a differenza delle suaccennate leggi di Stefan e Boltzmann in termini finiti, possiede più d’una spontanea relativizzazione perchè contiene derivate (una divergenza). Il principio d’indifferenza materiale (enunciato recentemente entro la teoria classica dei materiali ed importante specialmente riguardo ai fenomeni ereditari) è stato trasportato nella teoria della relatività da più d’un autore, sempre in modo spontaneo, diretto. Tuttavia la relativizzazione «diretta» così ottenuta non è compatibile col suddetto risultato di Tolman ed Ehrenfest. Propongo una nuova versione del suddetto principio che realizza la considerata compatibilità (e rilevo qualche conseguenza nel caso non ereditario).