A discrete impact parameter representation of the scattering amplitude

Summary

The impact-parameter representation introduced recently by Adachi and Kotani, and Predazzi, is analysed in detail. It is shown that, contrary to what has often been used in practical applications, an exponential or faster decrease of the «impact-parameter amplitude», when the impact parameter becomes very large, is not allowed. The fastest allowed decrease is given by formula (11), or, more generally, by the theorem stated before it. On the other hand, the impact parameter representation, formula (1), is found to be rigorously equivalent to an infinite discrete sum over discrete values of the impact parameterb: b _n=nπ/2p, p being the momentum in the c.m. system. According to what one is willing to admit for the asymptotic behaviour of the impact parameter amplitude on the real axis, one gets either formula (13), or (15), or the more general formula (19), which is valid in all cases. At any rate, one sees that the impact parameter is somehow «quantized». These infinite sums look similar to the usual partial-wave expansions. The functions which enter into these sums are studied to some extent in the Appendix, where a different expression for them, (A.2), is given. It is also found that they satisfy an inhomogeneous second-order differential equation, (A.3). The only assumption made in this paper is the analyticity of the scattering amplitude in the neighbourhood of the physical region in the cosϑ-plane, which has been proved in general in Q.F.T.

Riassunto

Si esamina dettagliatamente la rappresentazione del parametro di impatto introdotta recentemente da Odachi e Kotani e da Predazzi. Si dimostra, che, contrariamente a quanto è stato spesso supposto nelle applicazioni pratiche, una diminuzione esponenziale o più rapida dell’«ampiezza del parametro di impatto», quando il parametro di impatto diviene molto grande, non è consentita. La diminuzione più rapida consentita è data dalla formula (11) o, più generalmente, dal teorema esposto prima di essa. Si trova d’altra parte che la rappresentazione del parametro d’impatto, formula (1), è rigorosamente equivalente ad una somma discreta infinita di valori discreti del parametro di impattob: b _n=nπ/2p, dovep è l’impulso nel s.c.m. Secondo le ammissioni che si fanno sul comportamento asintotico dell’ampiezza del parametro di impatto, si ottiene o la formula (13) o la (15) o la formula più generale (19), che è valida in tutti i casi. Ad ogni modo si vede che il parametro di impatto è in certo modo «quantizzato». Queste somme infinite sono simili ai normali sviluppi dell’onda parziale. Le funzioni che intervengono in queste somme si studiano nell’Appendice, dove si dà una loro espressione differente (A.2). Si trova anche che esse soddisfano una equazione differenziale di secondo ordine non omogenea (A.3). La sola ipotesi fatta in questo articolo è l’analiticità dell’ampiezza di scattering in prossimità della regione fisica nel piano cosϑ, come è stato dimostrato in generale nella teoria quantistica dei campi.

Реэюме

Подробно аналиэируется представление параметра соударения, недавно введенное Адачи и Котани и Предацци. Покаэывается, что в противоположность тому, что часто испольэуется в практических применениях, зкспоненциальное или более быстрое уменьщение «амплитуды параметра соударения» не допускается, когда параметр соударения становится очень больщим. Наиболее воэможное уменьщение определяется выражением (11), иуи, более обше, теоремой, сформулированной перед зтим. С другой стороны, получено, что представление параметра соударения, формула (1), строго зквивалентна бесконечной дискретной сумме по дискретным эначениям параметра соударенияb:b _n=nπ/2_p; гдеp — импульс в системе центра масс. Согласно тому, что хотелось бы допустить для асимптотического поведения амплитуды параметра соударения на вешественной оси, получаем либо формулу (13), либо (15), либо наиболее обшую формулу (19), которая справедлива во всех случаях. Во всяком случае, окаэывается, что параметр соударения каким-то обраэом «квантуется». Эти бесконечные суммы похожи на обычные раэложения по парциальным волнам. До некоторой степени в Приложении исследуются функции, которые входят в зти суммы, где и приводится раэличное выражение для них (A.2). Также найдено, что они удовлетворяют неоднородому дифференциальному уравнению второго порядка (A.3). Единственное предположение, сделанное в зтой статье, представляет аналитичность амплитуды рассеяния в окрестности фиэической области в плоскости соs θ, которое докаэано, в обшем, в квантовой теории поля.