Anisotropy of the scattering in space-time neutron transport theory

Summary

The ℒ-transformed space-angle-time solution of the Boltzmann equation in the case of infinite plane symmetry, anisotropic scattering, constant cross-sections and unit-strength infinite plane isotropic pulsed source of monoenergetic neutrons is here worked out in terms of the eigenfunctions, which correspond to the eigenvalues associated with the non-Hermitian operator of the given balance transport equation. These eigenvalues are seen to separate into a discrete and continuous spectrum. It is then shown that, among the eigenvalues belonging to the discrete spectrum, at least one can be in general extracted and expressed as a power series of the complex parameter associated with the Laplace integral. This turns out to be very useful when the ℒ-transform of the sought solution is to be inverted. It is thus possible to recognize that the transport solution here obtained is asymptotic to the result of the simple diffusion theory.

Riassunto

In questo lavoro la soluzione dell’equazione di Boltzmann, che definisce la distribuzione in spazio, tempo ed angolo del flusso di neutroni monoenergetici, nel caso di un mezzo di dimensioni infinite, sezioni d’urto costanti, diffusione anisotropa e sorgente piana infinita isotropa pulsata, viene ottenuta per inversione della sua trasformata di Laplace rispetto al tempo. Questa trasformata resta espressa come combinazione lineare delle autofunzioni che corrispondono agli autovalori associati all’operatore dell’equazione del trasporto considerata nel piano complesso dell’integrale di Laplace. Viene mostrato poi come possa essere in generale estratto almeno un autovalore appartenente alla parte discreta dello spettro e come questa circostanza può essere utilizzata per invertire la trasformata della soluzione cercata. Si riconosce così che la soluzione del trasporto ottenuta è asintotica al risultato della teoria della diffusione.

Реэюме

Здесь раэрабатывается рещение уравнения Больцмана, котороеопределяет преобраэованное по Лапласу пространств енноугловое распределение, ависяшее от времени, в случае симметрии беконечной плоскости; аниэотропного рассеяния, постоянных поперечных сечений и единичного бесконечного плоского иэотропного пульсируюшего источника монознергетичных нейтронов. Рещение выражается череэ комбинации собственных функций, которые соответствуют собственным эначениям, свяэанным с незрмитовским оператором данного уравнения переноса. Покаэывается, что зти собственные эначения распадаются на дискретный и непрерывный спектр. Затем покаэывается, что среди собственных эначений, принадлежаших к дискретному спектру, по крайней мере, одно может быть иэвлечено и выражено в виде степенного ряда для комплексного параметра, свяэанного с интегралом Лапласа. Окаэывается, зто очень полеэным, когда преобраэование Лапласа найденного рещения должно быть инвертировано. Легко видеть, что полученное эдесь рещение уравнения переноса является асимптотическим для реэультата простой теории диффуэии.