A modified frobenius equation for characters and branching laws of the permutation groups

Summary

Frobenius derived an equation which is sufficient to determine all simple characters and character recursion relations for the permutation groups. A simple procedure for obtaining these results involves comparing monomials on both sides of Frobenius’ equation. To make such comparisons one needs to individually consider each permutation of each pertinent monomial. A modified form of Frobenius’ equation is derived. This form makes it possible to compare monomials without considering individual permutations. This considerably reduces the number of explicit comparisons needed to determine characters and character recursion relations.

Riassunto

Frobenius ha ricavato un’equazione che è sufficiente a determinare tutte le caratteristiche semplici e le relazioni di ricorrenza delle caratteristiche per i gruppi di permutazioni. Un semplice procedimento per ottenere questi risultati comporta il confronto dei monomi in entrambi i membri dell’equazione di Frobenius. Per fare un tale confronto è necessario considerare individualmente ogni permutazione di ogni monomio pertinente. Si ricava una forma modificata dell’equazione di Frobenius. Questa forma rende possibile il confronto dei monomi senza considerare le singole permutazioni. Questo riduce considerevolmente il numero di confronti espliciti necessari per determinare le caratteristiche e le relazioni di ricorrenza delle caratteristiche.

Реэюме

Фробениус вывел уравнение, которое является достаточным для определения всех простых свойств и характерных рекурентных соотнощений для групп перестановок. Простая процедура для получения зтих реэультатов включает в себя сравнение одночленов в обеих сторонах уравнения Фробениуса. Чтобы провести такие сравнения, необходимо отдельно рассмотреть каждую перестановку каждого соответствуюшего одночлена. Выводится модифицированная форма уравнения Фробениуса. Эта форма делает воэможным сравнение одночленов беэ рассмотрения отдельных перестановок. Это эначительно сокрашает число подробных сравнений, необходимых для определения свойств и характерных рекурентных соотнощений.