Die kostenfunktion einer Cobb-Douglas-produktionsfunktion

Summary

The Cost Function of a Cobb-Douglas Production Function. — It has been shown that the analytical expression of the cost function derived from a Cobb-Douglas production function is dependent on the degree of homogeneity. If the degree of homogeneity is the unity (constant returns to scale) then the cost function is linear and the marginal costs remain constant merging in the average costs.

For increasing (decreasing) marginal returns to scale the cost function is non-linear and increases at a decreasing (increasing) rate; the marginal and average costs decrease (increase).

On condition that factor prices are not equal, it follows that a given output can be produced at different costs according to the different values of the two partial elasticities of production m and n.

Résumé

La fonction de coût de la fonction de production Cobb-Douglas. — Nous avons montré que l’expression analytique de la fonction de coût derivée de la fonction Cobb-Douglas dépend du degré d’homogénéité.

Si le degré d’homogénéité est égal à l’unité (constant returns to scale) la fonction de coût est linéaire et le coûi Aiarginal est constant et identique au coût moyen.

Pour un degré d’hom Biéité plus grand (plus petit) que l’unité, la fonction de coût est non-linéaire et sa croissance est dégressive (progressive); le coût marginal et moyen descendent (montent).

De plus nous avons montre que, sous la condition des prix de facteurs de production inégaux, un «output» donné peut Être produit avec un coût différent selon les valeurs différentes des deux élasticités partielles de production m et n.

Resumen

La función de costes en una función de producción Cobb-Douglas.— En el presente artículo se demuestra que en el caso de funciones de producción del tipo Cobb-Douglas la expresión analítica de la función de costes, así como la forma de la curva de costes, depende del grado de homogeneidad de la funcion de produccion. Con un grado de homogeneidad unitario (rendimientos a escala de produccion constantes), la funcion de costes es lineal, es decir, los costes marginales permanecen constantes y son iguales a los costes medios.

Si el grado de homogeneidad es superior a la unidad (rendimientos a escala crecientes), los costes totales aumentan, pero de manera decreciente, por lo que los costes marginales y medios descienden. En el caso de que el grado de homogeneidad es positivo, pero inferior a la unidad (rendimientos a escala decrecientes), la función de costes totales aumentaría exponencialmente, de manera que los costes marginales y medios incrementarían de forma permanente. Además se saca a relucir, que de diferir el nivel de los precios de los factores de producción, un volumen de producción dado puede producirse a costes muy diferentes, segÚn sea el valor de las elasticidades parciales de la produccion respecto a trabajo y capital.

Riassunto

La funzione dei costi di una funzione produttiva Cobb-Douglas. — Nel presente articolo viene monstrato che, in funzioni produttive Cobb-Douglas, l’espressione analitica della funzione dei costi e quindi il decorso della curva dei costi dipendono dal grado di omogeneità della funzione produttiva. Al grado di omogeneità uno (proventi di scala costanti) c’è una funzione dei costi del tutto lineare, cioè i costi marginali rimangono costanti e sono identici ai costi medi.

è il grado di omogeneità maggiore di uno (proventi di scala crescenti), allora la funzione dei costi totali sale in misura sempre minore. I costi marginali e medi diminuiscono. Quando, perÒ, il grado di omogeneità è minore di uno e maggiore di zero (proventi di scala decrescenti), allora la funzione dei costi totali sale in modo esponenziale. Conforme a ciÒ, salgono anche costantemente i costi marginali e quelli medi.

Inoltre si è mostrato che in altezze disuguali di entrambi i prezzi dei fattori, una supposta quantità «output» puÒ essere prodotta con costi assai diversi secondo quale valore assumano le due parziali elasticità di produzione «m» e «n».