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L'arithmétique sur les courbes algébriques

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Acta Mathematica

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  1. Afin de réserver le mot de groupe au sens qu'il a pris depuis Galois, je parlerai toujours de systèmes de points, bien qu'on ait l'habitude en géométrie algébrique de parler de groupes de points sur une courbe.

  2. Ueber die diophantischen Gleichungen vom Geschlecht Null, Acta math. t. 14 (1890), p. 217.

  3. Sur les propriétés arthmétiques des courbes algébriques, J. de Liouville (V), t. 7 (1901), p. 161.

  4. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees, Proc. of the Cambridge Philos. Soc., t. 21 (1922), p. 179.—Sur l'ensemble de la question, on consultera T. Nagell,L'Analyse Indéterminée de degré supérieur (Paris, Gauthiers-Villars, Collection “Mémorial des Sciences Mathématiques”) où se trouve aussi une bibliographie étendue.

  5. Je dois encore signaler tout particulièrement de remarquables résultats de B. L. van der Waerden, qui paraîtront dans les Math. Ann. sous le titreZur Produktzerlegung der Ideale in ganz-abgeschlossenen Ringen, et qui, entre autres applications importantes, semblent susceptibles d'être employés avec fruit à l'étude des questions abordées dans notre chapitre I.

  6. λ/μ signifie que l'idéal μ est divisible par λ.

  7. La définition des distributions rationnelles et la règle faisant correspondre à toutA des fonctionsx A ,y A ont été formulées justement de telle sorte qu'il en soit bien ainsi.

  8. Une telle théorie serait également indispensable pour asseoir sur des bases solides la théorie des fonctions algébriques de plusieurs variables et la géométrie algébrique (cf. pour les courbes algébriques le mémoire bien connu de Dedekind et Weber,Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen, J. de Crelle, t. 92 (1882), p. 181). Elle rentre naturellement dans le cadre des travaux généraux de E. Noether (v. p. ex.Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörper, Math. Ann. t. 96 (1926), p. 26) et de W. Krull (Theorie der allgemeinen Zahlringe, Math. Ann. t. 99 (1928), p. 51); elle présente cependant encore des difficultés considérables. Dans cet ordre d'idées, on consultera avec grand profit les travaux de B. L. van der Waerden, particulièrementZur Nullstellentheorie der Polynomideale, Math. Ann. t. 96 (1926), p. 183, ainsi que le mémoire cité note.

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  9. Ces dénominations de pged, de produit, etc., reçoivent leur sens plein par la considération des idéaux dans le corps des fonctions rationnelles surV. Nos “surfaces” et nos “systèmes de surfaces” ne sont autres, en effet, que les “Primdivisoren” et les “Divisoren” de B. L. van der Waerden (loc. cit. note5, § 8), au travail duquel on pourra donc se reporter pour des démonstrations purement algébriques de nos affirmations.

  10. Il est essentiel, pour qu'il en soit ainsi, queV soit sans singularité ou du moins transformable en une variété sans singularité par une transformation birationnelle et biunivoque sans exception; et il n'en serait pas ainsi, par exemple, sur un cône du second degré. Je dois cette remarque et cet exemple à B. L. van der Waerden.

  11. Hilbert,Ueber die Theorie der algebraischen Formen, Math. Ann. t. 36 (1890), p. 473 (v. § 1, Th. 1). Cf. sur ce théorème les mémoires de E. Noether et B. L. van der Waerden déjà cités.

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  12. Ici, contrairement au cas oùV était à une dimension, le pged du numérateur et du dénominateur n'est plus nécessairement un idéal borné.

  13. Sur les propriétés, utilisées ici, des fonctions thêta, v. p. ex. Krazer-Wirtinger,Enzykl. d. math. Wiss. II, B. 7.

  14. La démonstration repose d'une part sur l'application, convenablement effectuée, du théorème de la base finie démontré dans le présent travail, et d'autre part sur une extension nouvelle des méthodes d'approximation des nombres algébriques qui tirent leur origine des travaux de Axel Thue. Les théorèmes antérieurs de Thue et de Siegel sur les équations indéterminées ne sont que des cas particuliers du résultat général cité ici.

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  1. Paris

    André Weil

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  1. André Weil
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Weil, A. L'arithmétique sur les courbes algébriques. Acta Math. 52, 281–315 (1929). https://doi.org/10.1007/BF02592688

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  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02592688

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