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Literatur
R. Nevanlinna.Zur theorie der meromorphen Funktionen (Acta math. t. 46, 1925).
G. Valiron.Sur la distribution des valeurs des fonctions méromorphes (Acta math., t. 47).
G. Valiron.Recherches sur le théorème de M. Borel dans la théorie des fonctions méromorphes, (Acta math. t. 52, p. 72).
P. Boutroux.Sur quelques propriétés des fonctions entières, thèse (Acta math. 1903). Le théorème de P. Boutroux fixe comme longneur totale des intervalles la quantitéak, a etant une constante numérique supérieure à 4e; récemement, M. André Bloch a énoncé sans démonstration un théorème plus précis que le théorème de Boutroux; puis M. Henri Cartan a précisé ce dernier énoncé de M. André Bloch dans un théorème publié dans les Compte-Rendus (t. 185, 1928, p. 624). Nous avons pris comme longueur totale des intervalles celle qui résulte du théorème de M. H. Cartan, dans le but de diminuer certaines constantes numériques.
Au lieu de prendre un cercle concentrique à (C) et de rayon 20 fois moindre, on peut prendre un cercle dont le rayon est égal au produit de (1-ε) par le rayon du cercle (C). C'est ce qu'a fait M. Valiron (Compte-Rendus, 2 avril 1928, p. 935) par représentation conforme.
C'est la valeur que j'avais prise pourd. Jobtenais des résultats identiques, dans la plupart des cas, à ceux que nous allons obtenir avec la méthode de M. Valiron, qui montre l'importance de la conservation du terme 11 log 1/d figurant dans le théorème I. Ce résultat de M. Valiron, que nous allons développer ici, est résumé dans une note des Compte-Rendus (30 avril 1928).
Voir sa note des Compte-Rendus, citée dans la note précédente.
Ces cercles doivent être, bien entendu, intérieurs à la région dans laquelle la fonctionf(z) est méromorphe.
A. Ostrowski.Über Folgen analytischer Functionen ... (Math. Zeitschrift, Bd 24, 1925, p. 241).
G. Valiron.Recherches sur le théorème de M. Borel dans la théorie des fonctions méromorphes (Acta math., t. 52, 1928, p. 67).
G. Valiron.Compléments au théorème de Picard-Julia (Bull. des Sc. Math., t. 51, 1927, p. 167).
G. Valiron.Compléments au théorème de Picard-Julia (dejà cité).
H. Milloux.Le théorème de M. Picard ... (déjà cité). Ces propriétés sont déduites du principe de Phargmé-Lindelöf. En somme, la démonstration du théorème XI est inspirée d'une précision de ce célèbre principe. J'ai étendu, dans ma thèse, ces propriétés à des angles curvilignes. On pourrait donner une pareille extension du théorème XI.
G. Valiron.Sur quelques propriétés des fonctions entières (Compte-Rendus, t. 185, 1927, p. 1439).
Dans une note des Compte-Rendus, (23 janv. 1928, p. 213) j'avais cru pouvoir affirmer qu'il en est de même lorsqu'on remplace, daus la condition (12), la fonctionV(r) relative àF(z) par la fonction analogueV 1(r) relative àf(z). Mais rien ne le prouvea priori.
Wiman.Sur une extension d'un théorème de M. Hadamard (Arkiv för Math., Ast., Phys. t. II, no 14).
G. Valiron.Sur quelques propriétés de fonctions méromorphes (Compte-Rendus, t. 186, 2 avril 1928, p. 935).
G. Valiron.Compléments au théorème de Picard-Julia, cité plus haut. Voir aussi la thèse de M. David R. Williams:Compléments au théorème de M. Julia (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. LII, 1928).
Voir H. Milloux.Le théorème de M. Picard, ... (cité plus haut). Le théorème que mous utilisons ici est le suivant: Si une fonctiong(x) est holomorphe et inférieure en module à un dans le cercle ÷x÷=1, et si elle est inférieure en module àm sur un arc de courbe issu du centre et traversant ce cercle, elle vérifie, dans le cercle ÷x÷=1/2, I'inégalité: ÷g(x)÷<m k k étant une certaine constante numérique.
Voir la signification au numéro 19.
Bieberbach.Ueber eine Vertiefung des Picardschen Satzes bei ganzen Funktionen endlicher Ordnung (Math. Zeit. Bd. 3, 1919, p. 175).
G. Valiron.Recherches sur le théorème de M. Borel dans la théorie des fontions méromorphes (déjà cité).
H. Milloux.Sur la théorie des fonctions entières d'ordre fini (C. R. t. 185, 1927, p. 1436).
La proposition est encore vraie, d'après le théorème XVII, pour ϱ=1; elle ne l'est plus lorsque ϱ est inférieur à un, cemme l'a montré M. Valiron dans son mémoire précédemment cité.
On peut également démontrer que l'exposant de convergence des zéros def(z)−a ayant pour argument limite l'une des valeurs ±π/2ϱ est égal à ϱ, en étudiant les propriétés de la fonction entière ψ(z), d'ordre ϱ, dont les zéros ont un seul argument limite, et en montrant que, puisqu'il existe un angleA'OA, d'ouverture π/ϱ, situé d'un côté de la demi-droiteOA' dont l'argument est l'argument limite des zéros de ψ(z), et tel que sur toute demi-droite intérieure à l'angleA'OA la fonction ψ(z) est d'ordre ϱ, cet angle se reproduit par symétrie par rapport àOA', ce qui est contradictoire avec les propriétés de la fonctionf(z) dans l'angleAOA'.
M. G. Valiron a établi une démonstration analogue dans une note des Compte-Rendus (Sur quelques propriétés des fonctions entières, t. 185, 1927, p 1439).
Lindelöf. Calcul des résidus, p. 119.
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Milloux, H. Les cercles de remplissage des fonctions méromorphes ou entières et le théorème de picar-borel. Acta Math. 52, 189–255 (1929). https://doi.org/10.1007/BF02592686
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02592686