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Literatur
Dans ma thèse de doctorat 1865 surles systèmes de coniques j'ai fait un usage régulier de ce procédé, qui m'a été utile aussi, à côté des déterminations directes, dans beaucoup d'autres recherches.M. Schubert s'en est servi aussi dans ses nombreux travaux, dans le premier sans avoir vu l'usage que j'en avais fait déjà.
M. M. Cayley, de la Gournerie, Painvin, Halphen, Nöther, Stolz, Smith.
J'ai donné des méthodes de ce dénombrement dans lesNouvelles Annales des Mathématiques 1867 et à la page 47 de mon Mémoire surles systèmes de courbes planes, inséré aux Mémoires de l'Académie danoise des sciences, 5me série t. X.
Bulletin de la Société Mathématique de France t. V., p. 9.
«Sur les points singuliers des courbes algébriques planes», publié en 1877 au tome 26 desMémoires présentés par divers savants; mais l'auteur avait déjà à la présentation de ce mémoire consigné les principaux résultats dans une communication publiée dans le Compte rendu du 20 avril 1874.
Proceedings of the London Mathematical Society, vol. VI.
Voir à la page 42 du Mémoire que nous venons de eiter.
M. M. Stolz etNöther dans les t. VIII et IX des Mathematische Annalen. Le travail du premier de ces savants est daté du 16 mai 1874.
Voir aux endroits cités, ou à la page 212 du vol. X des Mathematische Annalen.M. Cayley s'est servi en 1866 du même procédé (On the Higher Singularities of a Plane Curve. Quart. Journ. vol. VII), mais sans énoncer directement le théorème dont nous parlons ici.
Remarquons, du reste, que, dans ce qui suit, on se sert seulement de ladifférence des ordres des discriminants, qu'on obtient, sans aucune application des équations Pluckeriennes, en égalant les nombres totals des tangentes à la courbef=0 qui passent parP etQ. La même observation a permis une simplification de la démonstration deM. Bertini du théorème sur la conservation du genre (Comptes rendus t. LXX p. 742), que je rappelle parce qu'elle me semble montrer qu il ne soit pas — comme ditM. Schubert daus les Mathematische Annalen t. XVI p. 180 — une «bercchtiqte Forderung» à la simplicité géométrique de la démonstration de ce théorème qu'elle repose senlement sur le principe de correspondance. On verra du présent article que je ne regarde pas même, dans ce cas, l'usage de ce principe comme avantageux s'il y a des singularités supérieures, ni non plus pour l'extension du théorème. Je saisis l'occasion pour faire observer que la faute, montrée parM. Schubert, d'une démonstration qui porte mon nom dans le livre de Clebsch-Lindemann (p. 681) n'appartient pas à moi, ce que montre aussi la note de M. Lindemann en bas de la page citée.
Si la forme est (a 1 x 1 2+a2 x 2 2)y 1 y 2+(b 1 y 1 2+b 2 y 2 2)x 1 x 2 le discriminant des deux discriminants sera, à un constant numérique près, égal àa 1 2 a 2 2 b 1 2 b 2 2(a 1 a 2−b 1 b 2)2 — ce qu'on peut voir sans le calculer.
Voir mon article sur les systèmes de courbes planes dans le vol. X des Mémoires de l'Académie Danoise des Sciences (5me série).
Dans l'exemple de la première note au no 3 on aura\(j_1 = j_2 = \frac{8}{9}(a_1 a_2 + b_1 b_2 )(a_1 a_2 - 2b_1 b_2 )(2a_1 a_2 - b_1 b_2 )\)
Proceedings of the London Mathematical Society vol. X p. 196.
Dans les cas où la position des courbes n'a rien de particulier, on trouve scule ment que la différence des nombres des tangentes communes et des points d'intersection est égale àn′ 1n′2−n1 n 2. Il suffirait de considérer ici, à côté de ce cas général, celui où deux branches complètes sont tangentes entre elles. Voulant montrer avant tout la méthode, nous ne nous y sommes pas bornés.
Points singuliers des courbes algébriques planes. (Mémoires prés. par divers Savants XXVI, 2). Le théorème ressort de la combinaison de l'Art. I Théor. II Cor., et de l'Art. IV Théor. V.
Proceedings of the London Mathematical Society, vol. VI p. 167.
La substitution de l'équation (14) à (13) permettait d'éviter d'introduire un nombre infini de termes par la séparation des termes qui contiennent σ de ceux qui contiennent σ′.—Notre formule (15) se distingue d'une formule tout-à-fait semblable deM. Nöther par les significations des lettres: sesk ne désignent pas comme nosa lesmultiplicités immédiates des points singuliers, mais celles des points multiples qui en résultent par une décomposition; et la même différence a lieu entre les significations de sesk (1) et de nosa.
On the Higher Singularities of a Plane Curve. Quarterly Journal of Mathematics, vol. VII.
Il peut être commode de se servir des équivalents, remplaçant les singularités seulement dans les équationsPlückériennes propres, et non pas dans celle qui exprime le genre. Alors il faut remplacer (16) parɛ′−ɛ=Σ(σ′σ).
Proceedings of the London Mathematical Society VI p. 166.
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Zeuthen, H.G. Sur un groupe de théorèmes et formules de la géométrie énumérative. Acta Math. 1, 171–188 (1882). https://doi.org/10.1007/BF02592133
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02592133