Konforme Abbildung einer Fläche auf eine Andere unter Wählbaren Bedingungen

Резюме

Аналогичным образом как и в работе [3] применено в гл. 1 разложение в ряд логарифма масштаба линий в конформном изображении поверхности на плоскости в целях определения параметрических уравнений прямоугольных координат изображения любой кривой и в целях вывода аналогичных параметрических уравнений для логарифма масштаба и дирекционного угла касательной в ее конечной точке. В обоих случаях дается разложение в ряд комплексной функцииZ=X+iY или ξ=LnM+iA по степеням длины кривой. Производные содержат комплексные выраженияG _j1, которые систематически составлены из частных производных логаифма масштаба по прямоугольным плоским координатам с применением преобразованного дифференциального уравнения Лаборда. В каждой производной имеется лишь единственное дальнейшее выражение соответствующего порядка. Разложения определяются уравнениями (1, 1) и (1,2) производные в которых получаются по соотношениям (1,3), (1,19), (1,20). В результате подстановки выражений, заменяющих производные гауссовой (полной) кривизны по прямоугольным координатам на плоскости „производными”^*) по длинам параметрических линий на поверхности в прямоугольных криволинейных координатах из соотношений (1,23b), (1,27b), (1,29b), получатся соответствующие „производные” в форме (1,19a), (1,20a). Чтобы эти выражения были независимыми от вида криволинейных прямоугольных координат, мозно в качестве последних принять или линии кривизны, т. е криволинейные координаты соответствующие главным направлениям поверхности (направлениям экстремальных кривизн нормальных сечений), или те, которые соответствуют направлениям экстремальных изменений гауссовой кривизны и их ортогональным траекториям, т. е. направлениям постоянной гауссовой кривизны. Полученные выражения содержат в первом случае, „производные” гауссовой кривизны по длинам вдоль главнных направлений и геодезические кривизны этих линий. Во втором случае не войдут, „производные” гауссовой кривизны, выведенные по „производной”, в направлениа постоянной кривизны, которая равна нулю. В результате этого будут иметь место упрощенные соотношения (1,33), (1,35), (1,36b,c).

В гл. 2 определяются выражения$\bar G_{j1}$, характеризующие изображение из условия, чтобы данная основная линияс изобразилась при данном соответствии на оси+Х плоского конформного изображения. Эти выражения даются уравнениями (2,6a−f). Результирующие уравнения, дающие производные в разложении для иной кривой с начальным пунктомр ₀ и определеннои угломA ₀ измеряемым от основной кривой, с, и геодезической кривизной в функции ее длиныs (1,38), содержат производные в форме (2,7) для комплексных чисел ш, образованных логарифмом масштаба lnM и дирекционным углом кривой в конечной точкеA. аналогично уравнения (2,8) определяют производные числаZ образованного прямоугольными плоскими координатами. Если в эти уравнения ввести геодезическую кривую, определенную дирекционным угломA _q0 и длиноюs _q, то получатся соотношения (2,11a, b) и (2,12a, b), которые можно считать уравнениями изображения в полярных полугеодезических координатах и уравнениями логарифма масштаба и дирекшионного угла сопровождающей геодезической линии в виде функции тех же координат.

В гл. з выведены соотношения между дугами прямоугольных параметрических кривых на поверхности и полярными полугеодезическими координатами, отнесенными к точкеp ₀, лежащей на основной кривой υ₀=konst., вдоль которой измеряются дугиs _{v 0} к точке встречиq перпендикульрной параметрической кривойu=konst., проходящей текущей точкойp. Вдоль последней измеряются дугиs _u отq доp. Результирющие соотношения даны уравнениьми (3,15). Если система линийu=konst. представляет собой геодезические линии, перпендикулярные к основной линии, длиноюS _ng, и образующие на ней дугиs _t, то уравнения трансформирования имеют форму (3,16c). Для случая поверхности вращения, когда в качестве основной кривойc принята параллельc постоянной геодезичесой кривизной, получаются соотношения (3,17d).

Подготовительные соображения о конформном изображении поверхности на плоскости использованы в гл. 4 для вывода конформного изображения одной поверхности на другой Последнее определяется кривойc на первой поверхности п, которой соответствует криваяc' на второй поверхности π’. В результате одного конформного изображения отобразится поверхность п на плоскости т так, чтобы криваяc совпла с осБю +X; в результате второго же изобразится поверхность π’ на плоскости π’ так, чтобы криваяc' совпала с осью +X' )рис. 1). Если считать координаты плоских изображений одинаковыми, то получается конформное изображение одной поверхности на другой, которым отображается одна основная линия на другой с точечным соответствием, данным взаимным масштабомm _c=M_c/M' _c. Равенство комплексных функций, составленных из координат на плоскости τ, τ′, дает соотношение для полярных полугеодезических координат на поверхностях, которое решаетсь последовательнтельными приближеними и получается—после введения взаимного масштаба обоих плоских изображений вдоль линийc ис'—уравнение (4,4). Выделением реальной и мни-мой частей получились бы уравнения изображения в полярных полугеодезических координатах. Если прямоугольные плоские координаты совместного плоского изображения считать симметричными, общими для обеих поверхностей, то имеется возможность найти в результате целесообразного выбора масштаба вдоль кривыхc иc′ такой взаимный масштаб, который дает минимальные искажения изображения одной поверхности на другой. Поэтому было определено комплексное выражение, образованное из логарифма взаимного масштаба lnm=lnM−lnM′ и из разности дирекционных углов плоских фигур геодезических полярных радиусов векторов ω_q=A _q-A _g’ ^’, которая здесь названа “поворотом” (линейного элемента) в общем пунктеp. Если линейный элементds образует с геодезической сопровождающей линией на исходной поверхности некоторый угол, то его изображение образует с геодезическим радиусом вектором тот же угол увеличенный на величину “поворота”—в случае, что конформное изображение обладает той же ориентировкой поворачивания. Следовательно, “поворот” зависит от типа линий, которые образуют координатную сеть, в отличие от масштаба линий. При таком выборе симметричных координат величина “поворота” в начале координат равна нулю. Результирующими являются уравнения (4,6b).

Дальше исследовались возможности сведения к минимуму разности логарифма масштаба в общем пункте и в начале координат. Члены первого порядка в разложении исчезнут, если справедливы 2 условия (4,7a,b), члены второго же тогда, когда выполняются дальнейших 3 условия (4,8a, b, c). В случае жестких, совместно взаимно соответствующих эллиптических или гиперболических пунктов, условие (4,8b) удовлетворяется лишь тогда, если взаимный масштаб в начале координат дан уравнением (4,9). Наоборот, в случае заданного масштаба в начале координат, можно это услозие выполнить или в результате изменения положения некоторой или обеих исходных точек, или изменением размеров одной поверхности (напр. сферы). Для случая, когда оба первых члена разложения исчезнут, исследовалось значение масштаба, вычисленное по третьему члену, в функции плоских координат конформного изображения, отображающим основную линию на оси +X ^* без искажений (4,10). Дальше сводится к минимуму интеграл (4,11), т. е. предельнсе значение суммы квадратов разностей логарифмов маштабов относительно начала, именно для кругового поля трансформирования в приведенном конформном изображении. Это приводит к уравнениям (4,12) и (4,13). Для соответствующего изображения поверхности на сфере с той же гауссовой кривизной в начале координат, где задается масщтаб равный единице, справедливо соотношение (4,14). Применительно к поверхности вращения получается изображение, аналогичное проекции Гаусса эллипсоида вращения на шаре, приведенной в [3]— соотношение (4,15). В случае круговой области (4,14) дает несколько меньшее абсолютное значение экстремального логарифма масштаба.

Следовательно можно сказать, что приведенные формулы позволяют осуществить приведение тригонометрических сетей, обработанных и уравненных на референц-эллипсоиде, к аналитической поверхности близкой геоиду. Дальше они позволяют учитывать действительный размер вновь измеренных базисов посредством выбора масштаба или масштаба линий в данном месте сети. Их можно применить также для смещения, поворачивания и изгиба тригсети, которые могут иметь место. Кроме того они дают возможность привести к минимуму данный интеграл для поля трансформирования, образованного непрерывной, замкнутой и непересэкающейся кривой, которое содержит начало системы, или же позволяют ставить иные целесообразные условия для определения постоянных изображения. Анализ возможностей при решении этих вопросов становится нетрудным тем, что в данных формулах выделены характеристики, определяющие свойства поверхности в окрестности исходного пункта, т. е. геодезические кривизны и их производные, или также геодезические кривизны координатных линий, отдельно от собственных постоянных изображения, заданных точечным соответствием линий.