К теории гравитационных полеи однородных и неоднородных бесконечных призм

Zusammenfassung

Es wird gezeigt, daß die bekannten Doppelintegrale, welcho das Gravitationspotential, die Feldkomponenten und die zweiten, bzw. auch die höheren Ableitungen des Potentials eines beliebigen unendlichen homogenen Prismas darstellen, mit Hilfe der Greenschen Formel ziemlich einfach in Linienintegrale verwandelt und sodann in geschlossener Form durch elementare Funktionen ausgedrückt werden können. Auf diese Weise werden die betreffenden Formeln für das Potential, die Feldkomponenten, die zweiten Ableitungen des Potentials, sowie für die dritte VertikalableitungU _zzz für ein Prisma von ganz beliebigem Querschnitt abgeleitet. Man erhält diese Formeln in einer allgemeinen, dabei jedoch sehr übersichtlichen Form, wobei die in ihnen auftretenden Hilfsgrößen sehr leicht graphisch ermittelt werden können. Weiter wird gezeigt, daß sich dieselbe Methode auch zur Berechnung des Feldes eines inhomogenen Prismas eignet und daß die Feldkomponenten auch in diesem Fall in geschlossener Form durch elementare Funktionen ausgedrückt werden können, sofern die Dichteverteilung einem Gesetz σ=P(z, x) gehorcht, woP ein beliebiges Polynom (oder sogar eine zwar gewissen Einschränkungen unterliegende, jedoch noch ziemlich allgemeinere rationale Funktion) in den rechtwinkligen kartesischen Koordinaten (z, x) bedeutet. Zum Schluß wird die VertikalkomponenteZ des Feldes eines beliebigen horizontalen unendlichen Prismas für den Fall einer Dichteverteilung σ=(1+βz)⁻² berechnet, woz die Tiefe und β eine beliebige positive Konstante bedeutet. Zusammen mit der Lösung für ein homogenes Prisma wird so das Feld für ein Modell gelöst, bei dem die Dichte mit wachsender Tiefe steitig und motonon zunimmt (oder abnimmt) und sich asymptotisch einem vorgegeben Grenzwert nähert.