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Untersuchungen über Energiebilanz und Phasenlage bei nichtlinearen Systemen an Hand der periodisch geschwenkten Rollbahn

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Forschung auf dem Gebiet des Ingenieurwesens A Aims and scope Submit manuscript

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Schrifttum

  1. In einem auf der 75. VDI-Hauptversammlung am 28. Juni 1937 in Kiel gehaltenen Experimentalvortrag hat der Verfasser versucht, die Verwandtschaft zwischen beiden Gruppen unter Einbeziehung elektrischer Schwingungsprobleme darzulegen; s. Z. VDI Bd. 81 (1937) S. 972.

  2. Es ist hier wie im folgenden an Stelle von “größtem Ausschlag” oder “Scheitelwert des Ausschlages” kurz “Ausschlag” gesagt.

  3. Ich bin Herrn Prof.Kucharski zu Dank verpflichtet für die Erlaubnis, diese bisher von ihm nur vorgetragenen, aber noch nicht veröffentlichten Ergebnisse in die vorliegende zusammenfassende Darstellung aufnehmen zu dürfen. Ich benutze gleichzeitig die Gelegenheit, ihm auch als meinem verehrten Lehrer für die Einführung und die zahlreichen Anregungen, die er mir persönlich auf dem Gebiete der nichtlinearen Schwingungen zu Teil werden ließ, herzlich zu danken.

  4. Vgl.H. Martin, Schwingungslehre, inW. Wien u.F. Harms, Handbuch der Experimentalphysik, Bd. 17 T. 1, Leipzig 1934.

  5. Der Beweis ergibt sich folgendermaßen. Die genannte Ähnlichkeitseigenschaft wird ausgedrückt durch die Funktionalgleichung:\(\frac{{F(\xi \cdot A)}}{{F(A)}} = \frac{{F(\xi )}}{{F(1)}}oderF(\xi A) = \frac{{F(\xi )F(A)}}{{F(1)}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (I).\) Durch Different Durch Differentiation nachA ergibt sich einerseits:\(\xi F'(\xi A) = \frac{{F(\xi )F'(A)}}{{F(l)}},\) und durch Differentiation nach ξ ergibt sich andererseits:\(AF'(\xi A) = \frac{{F'(\xi )F(A)}}{{F(l)}}.\) Indem wir die obere Beziehung mitA, die untere mitξ multiplizieren und beide von einander abziehen, erhalten wir:\(AF(\xi )F'(A) - \xi F'(\xi )F(A) = 0,\) und hieraus folgts, da ξ undA von einander unabhänging sind, für beide Größen gleiche Differentialgleichung:\(\frac{{AF'(A)}}{{F(A)}} = \frac{{\xi F'(\xi )}}{{F(\xi )}} = konst.................(II),\) wobei wir die Konstante gleichn setzen können. Durch Trennung der Veriablen erhält man die allgemeine Lösung: ln [F (A)]=n lnA+lnC oder:\(F(A) = C \cdot A^n ...................(III).\) für beliebigen, was zu beweisen war.

  6. v. Martienssen, Phys. Z. Bd. 11 (1910) S. 448/460.

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  7. G. Duffing. Erzwungene Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz, Braunschweig 1918.

  8. Die freien Schweingungen der schwach gespanntgen Saite finden sich bereits beiG. R. Kirchhoff: Vorlesungen über mathematische Physik, Bd. 1, Mechanik, Leipzig 1897, 29. Vorl. § 7, S. 443/45.

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  9. Derartige Betrachtungen finden sich auch bei:J. P. den Hartog, Mechanische Schwingungen, deutsche Übersetzung vonG. Mesmer, Berlin 1936, S. 335, wo die Untertonerregung als subharmonische Resonanz bezeichnet wird.

  10. Die sorgfältige Durchkonstruktion dieser Apparatur habe ich Herrn Dr.-Ing.F.-W. Schoening, dioe technische Ausführung Herrn MechanikermeisterA. Quade zu danken. Anläßlich einer Institutsbesichtigung wurde ich freundlicheweise von Herrn Dr.Döring darauf aufmerksam gemacht, daß grundsätzlich die gleiche Apparatur auch im AEG-Forschungsinstitut entwickelt wurde, um die Elektronenbewegungen in Wechselfeldern zu studieren (s.E. Brüche u.H. Döring Jb. AEG-Forsch. Bd. 6 (1939) S. 95/103).

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  11. Für Mitarbeit bei den Messungen und Auswertungen habe ich den Herren cand-ing.H. Alten, H. Bott undH. Steinhardt zu danken.

  12. Inzwischen wurden an der geschwenkten Rollbahn auch die Einschwingvorgänge weiter verfolgt und insbesondere die Anfangsbedingungen festgestellt, die bei verschiedener Erregungsstärke zur Mitnahme führen. Ferner wurde die Bahn so verstellt, daß beide Seiten in der Mittellage verschieden stark geneigt waren. Die Eigenschwingung enthält dann auch gerade Teiltöne, und es kann dabei auch der Unterton der Ordnung 1/2 hergestellt werden.

  13. Schließlich sei noch auf die kürzlich erschienenen vielseitigen Untersuchungen zum Mitnahmeproblem vonW. Wenke [Die Instabilität linearer und nichtlinearer Schwingungen (Mitnahmeschwingungen), Z. Hochfrequenztechn. u. Elektroakust. Bd. 55 (1940) S. 94/101 u. 109/20] hingewiesen, die dem Verfasser leider erst nach Abschluß dieser Arbeit bekannt wurden.Wenke untersucht auch rheonichtlineare Schwinger, d. h. solche mit zeit- und ausschlagabhängigen Speicherkennwerten; er setzt kleine Abweichungen von der harmonischen Schwingung voraus.

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  1. Institut für Mechanik der Technischen Hochschule Berlin, Berlin

    L. Cremer

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  1. L. Cremer
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Experimental-Vortrag, gehalten auf der Arbeitstagung des VDI-Fachausschusses für Schwingungs- und Schalltechnik, am 24. Jan. 1941.

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Cremer, L. Untersuchungen über Energiebilanz und Phasenlage bei nichtlinearen Systemen an Hand der periodisch geschwenkten Rollbahn. Forsch Ing-Wes 12, 226–236 (1941). https://doi.org/10.1007/BF02585349

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  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02585349

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