Approssimazione della soluzione di una disequazione variazionale. Applicazione ad un problema di frontiera libera

Sommario

Si propone un metodo numerico per l'approssimazione della soluzione di una disequazione variazionale. Lo studio trae origine da [1] in cui viene dimostrato un teorema di esistenza e unicità e da [2] in cui viene indicato un procedimento con il quale si ottiene la soluzione come limite comune di due successioni monotone, una non crescente, l'altra non decrescente, i cui termini sono soluzioni di problemi ellittici debolmente non lineari. In [2] è anche indicato un procedimento iterativo per la risoluzione di questi problemi.

Scopo di questo lavoro è quello di indicare un procedimento numerico per l'approssimazione della soluzione. Si parte dall'osservazione che per avere una soluzione con una approssimazione prefissata basta risolvere uno solo dei problemi debolmente non lineari di cui sopra e si costruisce uno schema alle differenze convergente per l'approssimazione della soluzione di tale problema. Infine si dà una valutazione dell'errore commesso in questa duplice approssimazione.

Abstract

We propose a numerical method for the approximation of the solution of a variational inequality.

The study takes its origin from [1], where a theorem of existence and unicity is proved and from [2], where a procedure is indicated by means of which one can obtain the solution as the common limit of two monotone sequences, the first one being non increasing, the second one non decreasing, whose terms are solutions of elliptic midly non linear problems. In [2] an iterative procedure for the solution of these problems is indicated.

The paper aims at describing a numerical procedure for the approximation of the solution. We start by observing that, to obtain a solution within a given approximation, only one of the above mildly non linear problems need be considered, and we construct a convergent difference scheme for the approximation of the solution of such a problem.

Finally, an estimate of the error made in this double approximation is given.