Sulla ricerca dei digrafi fortemente connessi aventi uno stesso grafo di supporto e di lunghezza generalizzata minima o massima

Sunto

Assegnato un grafo finitoG ₀, notiamo con$F_{G_0 }$ la famiglia dei digrafiG aventiG ₀ come grafo di supporto. E' noto che alla famiglia$F_{G_0 }$ appartengono digrafi fortemente conuessi (f. c.) se e solo seG ₀ è connesso e ogni sno spigolo appartiene a qualche ciclo.

Nel presente lavoro iudaghiamo sulla struttura dei digrafi fortemente connessi di una assegnata famiglia$F_{G_0 }$ e dimostriamo come tali digrafi si possono costruire tutti a partire da uno di essi (costruito a sua volta utilizzando un algoritmo di B. Roy) mediante l'applicazione di un numero finito di trasformazioni elementari opportunamente introdotte.

Se immaginiamo il grafoG ₀ come rappresentazione di una certa rete stradale, dobbiamo interpretare ogni digrafo di$F_{G_0 }$ come un possibile orientamento a sensi unici di tutte le strade della rete.

A ciascuno dei due possibili orientamenti degli spigoli della reteG ₀ è possibile associare un numero reale esprimente il costo oppure l'utilità di quell'orientamento: in tal modo ad ogni orientamento a sensi unici delle strade della rete risulta associato un costo complessivo oppure un utile complessivo.

Il problema di orientare in modo ottimo gli spigoli delle reteG ₀, compatibilmente con i vincoli di percorribilità dell'intera rete, si traduce nella ricerca dei digrafi f. c. di$F_{G_0 }$ a cui è associata una lunghezza generalizzata minima oppure massima.

Noi affrontiamo tale problema e presentiamo una condizione necessaria e sufficiente di ottimo che permette di costruire mediante un opportuno algoritmo i digrafi fortemente connessi di$F_{G_0 }$ di lunghezza generalizzata minima oppure massima.

Abstract

Given a finite graphG ₀, let$F_{G_0 }$ be the family of digraphs that haveG ₀ as a supporting graph. It is a well established fact that$F_{G_0 }$ contains strongly connected (s. c.) digraphs if and only ifG ₀ is connected, and if every edge ofG ₀ belongs to one or more cycles. In the present work the structure of s. c. digraphs of a given family is investigated. It is also proved that all such digraphs can be constructed from one of them (that itself is constructed by an algorithm of B. Roy), with a finite number of appropriate elementary transformations.

If a graphG ₀ represents a given road network, every digraph in$F_{G_0 }$ can be interpreted as a possible one-way orientation of all the roads in the network.

One can associate with each of the orientations of the edges ofG ₀ a real number representing the cost or the gain of such an orientation: thus, with every one-way system in the network is associated a cumulative cost or a cumulative gain.

The problem of the optimal orientation of the edges ofG ₀, while respecting the constraints on the viability of the entire network, becomes the search of s. c. digraphs in$F_{G_0 }$ associated with optimal generalized lengtht. A necessary and sufficient condition for optimality is presented, that leads to the construction, by means of an appropriate algorithm, of s. c. diagraphs in$F_{G_0 }$ with optimal generalized lenght.