Diagnosi delle catene di maitra e teoria dei semigruppi

Introduzione-Sommario

Sotto la etichetta di «Diagnosi di circuiti digitali» sono in genere accomunati problemi di interesse e complessità differente. In ordine crescente di difficoltà, diagnosticare un circuito digitale può significare stabilire se il circnito in oggetto funziona come richiesto, oppure localizzare i punti dove è eventualmente guasto, oppure identificarne e la natura e la posizione dei guasti.

Quando si faccia riferimento a circuiti digitali di una certa complessità (ad esempio organi normalmente realizzati su una cartella di circuito stampato) la diagnosi ne diviene complicata a meno che non sia lecito accettare ipotesi semplificative. Queste possono concernere la struttura topologica dei collegamenti tra gli elementi costitnenti il circuito, il numero massimo dei guasti eventualmente presenti, la loro natura. La necessità di introdurre dette ipotesi diviene stringente quando si desiderano risolvere i problemi più complessi della diagnostica quali quelli della localizzazione e specificazione dei guasti.

Recentemente Kautz (b1) ha affrontato il problema della correlazione tra la regolarità delle interconnessioni circuitali e la diagnosi. È stato messo in evidenza come sia in genere più semplice diagnosticare circuiti logici realizzati secondo le tecniche della Logica Cellulare (b2-b3). Con gli stessi obiettivi Thurber (b4) ha investigato problemi della diagnosi di una struttura cellulare, comunemente indicata come catene di Maitra (b5). Le catene di Maitra sono studiate da diversi Autori (per la bibliografia vedereb5). In particolare in (b6) è esposta una teoria unificata che fa uso di alcuni semplici risultati della teoria dei Semigruppi. In questo lavoro la diagnosi delle catene di Maitra è studiata facendo ancora uso esclusivo della teoria dei semigruppi. I risultati esposti sono stati in parte già ottenuti da Thurber. Ciò nonostante essi sono stati qui riportati sia per ragioni di uniformità, sia perchè lo scopo di questo lavoro consiste nel fornire un altro esempio della applicazione di strumenti matematici apparentemente estranei alla Teoria della Commutazione per la risoluzione di problemi afferenti quest’ultima. Dal confronto tra la trattazione fornita da Thurber e quella qui esposta, il lettore potrà decidere sui vantaggi e le limitazioni dell’uso della teoria dei Semigruppi. La trattazione vuole essere il più possibile sistematica e farà riferimento ai risultati esposti in (b6). Comunque, per ragioni di chiarezza, alcuni concentti che saranno di uso continuo sono puntualizzati nella prima sezione di questo lavoro. Con riferimento alle differenti finalità che ci si può proporre nella diagnosi dei circuiti digitali, una particolare enfasi è posta nelle differenti classi di ipotesi che vengono formulate sul numero e la natura dei possibili guasti e sui risultati che queste permettono di dedurre. Il lavoro è, a questo proposito, diviso in due parti distinte. Nella Prima (sezione 2) è studiato il caso in cui non più di una cella può essere guasta. Nella Seconda (sezione 3) sono esposti aleuni risultati relativi al caso in cui più di una cella può non funzionare correttamente.

Abstract

By «Diagnosis of digital circuits» it is generally meant a class of different problems with different difficulty. The simplest problem Diagnosis deals with is concerning the determination whether a given array behaves properly or not. A second generally more complex problem concerns the localisation of the eventual faults in the array. A third problem would be the identification of both nature and position for the faults.

In most of situations of practical interest, very often the Diagnosis is quite complicated, unless some hypothesis are accepted on the interconnection structure, and or on the number of possible faults and or on their nature. The need of these hypothesis becomes stronger when some solutions are requested for the most complex problems arising in diagnosis as, for example, the identification of both position and nature of faults.

Kautz (b1) studied the problem of the correlation between the regularity of the array and their diagnosis. In his paper Kautz pointed out how it is generally easier to diagnose arrays that are synthesized according to the techniques of cellular logic (b2-b3). With the same goals, Thurber (b4) investigated the problems arising in diaguosis of a cellular array generally indicated as Maitra Cascades (b5). Maitra cascades have been studied by several authors (for bibliography seeb5); particularly, a unified theory is shown in (b6) that makes use of some elementary results of semigroup theory. In this paper the diagnosis of Maitra cascade is studied by using only the semigroup theory. Several among the results shown here have been already obtained by Thurber. Nevertheless they are here explained both for sake of uniformity and because of the goal of this paper: in fact all we want here is to give an other example of the possibilities to apply combinatorial mathematics in Switching Theory. Looking at both the Thurber’s paper and at this one, the reader will judge of both advantages and inconvenients of using Semigroup Theory for diagnosis. The explanation wishes to be as systematic as possible and reference will be made to the results as shown in (b6). However some concepts that will be used very often are here explained for the sake of clarity.

With reference to the different goals to be achieved diagnosting digital circuits, a particular emphasis is placed on the different classes of hypothesis accepted on number and nature for possible faults and on the results that we are allowed to obtain from accepting them.

The paper is divided in two main sections. In the firstone the case is studied when no more than one cell can be faulty. In the second section some results are shown valid when more than one cell may behave wrongly.