Zusammenfassung
Man erhält kompakte Approximationen von Laplace-Übergangsfunktionen, wenn die Koeffizienten des Nenners aus den Zeitkonstanten des Systems abgeleitet werden. (Üblicherweise führt dies auf das Problem der Nullstellensuche einer transzendenten Funktion.) Es ist bekannt (Gough [1], Stephenson [2]), daß für die meisten Wände drei Zeitkonstanten ausreichen, um hinreichend genaue Übergansfunktionen zu erhalten.
Die Taylor-Entwicklung der Kettenmatrix im Laplaceraum wird für beliebige Wände mit eindimensionalem Wärmestrom mit der Picard'schen Methode berechnet. Für ebene Mehrschichtwände ist dafür eine explizite Lösung angegeben.
Die ersten N Zeitkonstanten werden näherungsweise aus der (N+1). Ordnung der Partial-Summe der Taylor-Entwicklung berechnet. Dies wird mit einer generalisierten Pade-Approximation bewerkstelligt, die eine Totzeit enthält und direkt auf ein Nennerpolynom führt (ohne transzendente Wurzeln). Die Wurzeln konvergieren geometrisch zu den Eigenwerten mit wachsendem N (die Eigenwerte stellen die reziproken Zeitkonstanten dar). Die Komplexität der gesamten Prozedur liegt kaum über derjenigen für ein System mit konzentrierten Parametern der Ordnung N+1. Es werden Beispiele angegeben, um mit den „exakten” Frequenzgängen zu vergleichen.
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Abbreviations
- A(s, Y), B(s, X) :
-
Kettenmatrix-Koeffizienten
- C(s, Y), D(s, X) :
-
von Teilwänden an der Stelle des akkumulierten Widerstandes bzw. der akkumulierten Kapazität. Für die Gesamtwand werdenX undY weggelassen
- A n (Y), B n (X) :
-
Koeffizienten der Taylor-
- C n (Y), D n (X) :
-
entwicklung ims-Raum. Für die Gesamtwand werden die VariablenX undY weggelassen
- c(x) [Wh/Km]:
-
Dichte der thermischen Kapazität
- r(x) [K/Wm]:
-
Dichte des thermischen Widerstandes
- cx(X), cy(Y)[Wh/Km]:
-
„c” mit der VariablenX bzw.Y
- rx(X), ry(Y)[K/Wm]:
-
„r” mit der VariablenX bzw.Y
- \(F(s) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty f_k s^k \) :
-
Irgendeiner der vier Kettenmatrix-KoeffizientsA, B, C oderD der Gesamtwand
- H(s, x) :
-
Kettenmatrix der Teilwand
- H n :
-
bisx-ter Taylorentw.-Koeff. vonH
- \(P_N (s) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^N p_k s^k \) :
-
Polynom, dessen Wurzeln die Approximierten Eigenwerte sind
- Q N (s) :
-
Polynom, dessen Wurzeln die wahren Eigenwerte sind
- R N (s)=F(s)/Q N (s) :
-
Restglied
- s [1/h]:
-
Komplexe Variable im Laplace-Raum
- s n [1/h]:
-
n-te Wurzel vonF(s) in aufsteigendem Betrag
- s (N) n [1/h]:
-
n-te Wurzel vonP N (s) in aufsteigender Betragsfolge
- t 0 [h]:
-
Totzeit in der Padé-Approximation
- x [m]:
-
Raumkoordinate in der Wand
- X [K/W]:
-
Akkumulierter thermischer Widerstand als Koordinate
- Y [Wh/K]:
-
Akkumulierte Kapazität als Koordinate
Literatur
Gough, M. C. B.: Modelling Heat Flow in Buildings: An Eigenfunction Approach. Ph.D. Thesis (12533), Cambridge University 1982, Cambridge/England.
Stephenson, D. G., u.K. Ouyang: Frequency Domain Analysis for the Accuracy of Z-transfer Functions for Walls. Fifth International Symposium on the Use of Computers for Environmental Engineering Related to Buildings, Bath/England, 1986.
Pipe, L. A.: Matrix Analysis of Heat Transfer Problems. Franklin Institute Journal Bd. 263 (1957) Nr. 3.
Kusuda, T.: Thermal Response Factors for Multi-Layer Structures of Various Heat Conduction Systems. ASHRAE Transact. Bd. 75, (1969) Nr. 1.
Courant, R., u.D. Hilbert: Methods of Mathematical Physics Bd. 1, New York: Interscience Publishers Inc. 1953.
Pólya, G., u.G. Szegö: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis Bd 2, New York: Springer-Verlag 1971.
Baker, G. A.: Essentials of Padé Approximants. London: Academic Press 1975.
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Jakob, M. Thermische Anmerkungen zu Zeitkonstanten von Wänden. Forsch Ing-Wes 57, 21–24 (1991). https://doi.org/10.1007/BF02574943
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02574943