Zusammenfassung
Bei elastischen Platten auf nachgiebiger Unterlage ist nicht in jedem Fall auszuschließen, daß die infolge äußerer Belastungen auftretenden Zugspannungen, normal zur Kontaktfläche, in dieser nicht aufgenommen werden können. Folglich wird sich die Platte in diesen Bereichen von der Unterlage abheben. Zur Berechnung des tatsächlichen Auflagerbereichs und der endgültigen Kontaktspannungen wird ein numerisches Verfahren entwickelt. Dazu werden Transformationsmatrizen eingeführt, die in einem iterativen Rechenprozeß die Ursprungsgleichungen, die für den Kontakt über die gesamte Plattenfläche aufgestellt wurden, in das jeweils neue transformierte Gleichungssystem überführen. Dabei werden keine Festlegungen hinsichtlich der physikalischen Modelle der Platte und der nachgiebigen Unterlage getroffen; diese können den realistischen Gegebenheiten entsprechend eingeführt werden.
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Abbreviations
- A=[A ij]:
-
Koeffizientenmatrix der Platte
- B=[B ij]:
-
Koeffizientenmatrix der Unterlage
- C, C 0 :
-
Matrixoperationen zur Transformation der Plattengleichung
- D :
-
multiplikative Konstante
- F :
-
Integrationsbereich
- f={f j}:
-
Vektor der Plattendurchbiegung bzw. der Einsenkungen der Unterlage in diskreten Punktenj
- G K :
-
Kontaktbereich der Platte
- G 1 :
-
Plattenfläche außerhalb des Kontaktbereichs
- I :
-
Einheitsmatrix
- i, j :
-
Zählvariablen
- K m=S P/S H :
-
Steifigkeitsparameter
- k :
-
Kernfunktion der Integralgleichung für die Einsenkung der Unterlage
- N :
-
Plattenbiegesteifigkeit, veränderlich
- \(\bar N = {N \mathord{\left/ {\vphantom {N N}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} N}_p \) :
-
bezogene Plattenbiegesteifigkeit
- N P :
-
Bezugswert der Plattenbiegesteifigkeit
- n :
-
Anzahl der diskreten Punktei der Plattenfläche
- n′ :
-
Anzahl der diskreten Punktei, in denenP i > 0 ist
- P={P i}:
-
Vektor der Kontaktspannungen
- P a={P ia}:
-
Vektor der äußeren Belastung
- \(Q,\bar Q\) :
-
Transformationsmatrizen
- \(q,\bar q\) :
-
Transformationsmatrizen
- R :
-
transformierte Koeffizientenmatrix vom Rangr=n−n′
- R 0 :
-
transformierter Belastungsvektor, (n−n′)-dimensional
- S H :
-
Steifigkeitsbeiwert der Unterlage (Halbraum)
- S P=1/N P :
-
reziproker Bezugswert
- ω:
-
Plattendurchbiegung
- x, y :
-
Koordinaten des Aufpunkts relative Differenz zweier aufeinander-folgender Iterationsschritte fürG K
- Θ:
-
Nullmatrix
- v :
-
Poissonzahl
- ξ, π:
-
Koordinaten des Lastangriffspunkts
- x, y :
-
partielle Ableitungen nachx bzw.y
- (0), … (μ), … (m):
-
Bezeichnung der Iterationsschritte (hochgestellt)
Schrifttum
Woinowsky-Krieger, S.: Berechnung einer auf elastischem Halbraum aufliegenden Platte. Ing. Arch. Bd. 17, (1949) S. 142/48.
Weitsman, Y.: On the unbounded contact between plates and an elastic half space. J. Applied Mech. (Juni 1969) S. 198/202.
Jung, H.: Druckverteilung unter elastisch gelagerten Kreisplatten. Ing. Arch. Bd. 20 (1952) S. 8/12.
Laermann, K.-H.: Über den Einfluß des Baugrundverhaltens auf die Beanspruchungen in vielgeschossigen Rahmentragwerken. Wiss. Z. Hochsch. Archit. Bauwes., Weimar Bd. 22 (1975) Nr. 2, S. 188/91.
Laermann, K.-H.: Der Einfluß des Kriechens auf die Sohlpressungen unter elastisch gebetteten Konstruktionen. Forsch. Ing.-Wes. Bd. 36 (1970) Nr. 3, S. 85/89.
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o. Prof. f. Baustatik, Gesamthoch-schule Wuppertal.
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Laermann, KH. Platten auf nachgiebiger Unterlage unter Berücksichtigung des Abhebens. Forsch Ing-Wes 42, 115–117 (1976). https://doi.org/10.1007/BF02573852
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02573852