Abstract
The concept of relation algebra unifies many familiar notions from algebra (especially those of systems having “natural” models as groups, Boolean algebras etc.). The fundamental theorem on relation algebras asserts the existence of simple conditions which characterize any given class of relation algebras.
The idea of relation algebra is very useful for the study of function and transformation semigroups, which is the central part of the theory of semigroups. It provides a general outlook, permits one to formulate many natural problems, and ensures that these problems possess non-trivial solutions. A number of examples illustrate this point.
Similar content being viewed by others
References
Birkhoff, G.: On the combination of subalgebras. Proc. Cambridge Philos. Soc.29, 441–464 (1933).
Chin, L., and A. Tarski: Remarks on projective algebras. Bull. Amer. Math. Soc.54, 80–81 (1948).
Church, A.: Introduction to mathematical logic, Princeton, Princeton University Press, 1956.
Clifford, A. H., and G. B. Preston: The algebraic theory of semigroups. 2nd vol. Providence, Amer. Math. Soc. 1967.
Dubreil, P.: Contributions à la théorie des demigroupes Mém. Acad. Sci. Inst. France63, 1–52 (1941).
Dubreil-Jacotin, M.-L., and R. Croisot: Equivalences régulières dans un ensemble ordonné. Bull. Soc. Math. France80, 11–35 (1952).
Everett, C. J., and S. Ulam: Projective algebra, I. Amer. J. Math.68, 77–88 (1946).
Frayne, T., A. C. Morel, and D. Scott: Reduced direct products. Fund. Math.51, 195–228 (1962).
Frink, O.: Complemented modular lattices and projective planes of infinite dimension. Trans. Amer. Math. Soc.60, 452–467 (1946).
Grätzer, G.: Universal algebra. London, Van Nostrand, 1968.
Grillet, P.-A.: Sur la notion de tas. C. R. Acad. Sci. Paris256, 2739–2741 (1963).
Grillet, P.-A.: Homomorphismes principaux de tas et de groupoides. Bull. Soc. Math. France, mém. 3, 167 pp., 1965.
Henkin, L.: Cylindrical algebras of dimension 2. Bull. Amer. Math. Soc.63, 26 (1957).
Henkin, L., and A. Tarski: Cylindric algebras. Lattice Theory. Proc. Symp. Pure Math., vol. 11, Providence, Amer. Math. Soc. 1961, 83–112.
Jónsson, B.: Modular lattices and Desargues’ theorem. Math. Scand.2, 295–314 (1954).
Jónsson, B.: Representation of modular lattices and of relation algebras. Trans. Amer. Math. Soc.92, 449–464 (1959).
Jónsson, B., and A. Tarski: Representation problems for relation algebras (abstract). Bull. Amer. Math. Soc.54, 80 (1948).
Jónsson, B., and A. Tarski: Boolean algebras with operators I. Amer. J. Math.73, 891–939 (1951).
Jónsson, B., and A. Tarski: Boolean algebras with operators II. Amer. J. Math.74, 127–162 (1952).
Lambek, J.: The immersibility of a semigroup into a group. Canad. J. Math.3, 34–43 (1951).
Łoś, J.: On the extending of models I. Fund. Math.42, 38–54 (1955).
Lyndon, R. C.: The representation of relational algebras. Ann. Math.51, 707–729 (1950).
Lyndon, R. C.: The representation of relational algebras II. Ann. Math.63, 294–307 (1956).
Lyndon, R. C.: Notes on logic. Princeton, Van Nostrand, 1966.
McKinsey, J. C. C.: On the representation of projective algebras. Amer. J. Math.70, 375–384 (1948).
McKinsey, J. C. C., and A. Tarski: The algebra of topology. Ann. Math.45, 141–191 (1944).
McKinsey, J. C. C., and A. Tarski: On closed elements in closure algebras. Ann. Math.47, 122–162 (1946).
Мальцев, А. И. (A. I. Malcev): О включении ассоциативных систем в группы. Матем. сб. 6, 331–336 (1939). (MR2, 7).
Мальцев, А. И.: О включении ассоциативных систем в группы II. Матем. сб. 8, 251–264 (1940), (MR2, 128).
Monk, D.: Model-theoretic methods in the theory of cylindric algebras. The theory of models. Proc. 1963 Int. Sympos. at Berkeley, Amsterdam: North-Holland, 1965, 238–250.
Monk, J. D.: Non-finitizability of classes of representable cylindric algebras (in press).
Petrich, M.: Homomorphisms of a semigroup onto normal bands. Acta sci. math. Szeged27, 185–196 (1966).
Rabin, M. O.: Universal groups of automorphisms of models. The theory of models. Proc. 1963 Int. Sympos. at Berkeley, Amsterdam: North-Holland, 1965, 274–284.
Riguet, J.: Relations binaires, fermetures, correspondances de Galois. Bull. Soc. Math. France76, 114–155 (1948).
Салий, В. Н. (V. N. Saliî): Проекционные полугруппы. Изв. высш. учебн. завед., Матем. №3 (52), 144–149 (1966), (MR33, #7444)
Салий, В. Н.: Система аксиом для трансформативных полугрупп. Волжск. матем. сб. вып. 5, 342–345 (1966). (MR36, #2729).
Салий, В. Н.: Трансформативные полугруппы (G, o, σ, x1, x2). Доклады АН СССР 179, 30–33 (1968).
Салий, В. Н.: Релятивизированные полугруппы преобразований, содержаЩие первое проекционное отношение χ4. Изв. высш. учебн. завед., Матем. №8 (87), 89–103 (1969).
Шайн, Б. М. (B. M. Schein): Система аксиом для полугрупп, вместимых в обобЩённые группы. Доклады АН СССР 134, 1030–1033 (1960). (MR25 #5116).
Шайн, Б. М.: ВмеЩение полугрупп в обобЩённые группы. Матем. сб. 55, 379–400 (1961), (MR25, #3104).
Шайн, Б. М.: Абстрактная теория полугрупп взаимно однозначных преобразований. Кандидатская диссертация. Саратов, 1962.
Шайн, Б. М.: Представление упорядоченных погугрупп. Успехи матем. Н. 17, 200–201 (1962).
Шайн, Б. М.: К теории рестриктивных полугрупп. Изв. высш. учебн. завед., Матем. №2 (33), 152–154 (1963).
Шайн, Б. М.: К теории обобЩенных групп. Доклады АН СССР 153, 296–299 (1963). (MR30, #1200).
Шайн, Б. М.: К теории полугрупп преобразований. Труды молодых ученых, вып. матем. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1964, 120–122. (MR36, #3904).
Шайн, Б. М.: Инволютированные полугруппы полных бинарных отношений. Доклапы АН СССР 156, 1300–1303 (1964). (MR29, #1278).
Шайн, Б. М.: Представление упорядоченных погугрупп. Матем. сб. 65, 188–197 (1964). (MR30, #2093).
Шайн, Б.М.: Рестриктивные биполугруппы. Иэв. Высз. учебн. эавед., Матем. NoI (44), 168–179 (1965). (MR30, #4847).
Schein, B. M.: Relation algebras. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math., astr. et phys.13, 1–5 (1965).
Шайн, Б.М.: О некоторых классах полугрупп бинарных отношений. Сибирск. матем. ж. 6, 616–635 (1965). (MR33, #1391).
Шайн, Б.М.: Атомные полугруды и инволюти-рованные полугруппы. Иэв. высш. учебн. эавед., Матем. No3 (46), 172–184 (1965). (MR32, #5763).
Шайн, Б.М.: О некоторых комитантах полугрупп бинарных отношений. Матем. записки 5, 73–91 (1965). (MR35, #2810).
шайн, Б.М.: Представление трансформативных полугрупп. Реэюме сообщ. и докл. 7 Всесоюэн. Коллокв. по общ. алгебре, Кишинев, 1965, 110–111.
Шайн, Б.М.: Алгебры отношений. Докторская диссертация. Capatob, 1965.
Шайн, Б.М.: Полугруппы прямоуголвных гинарных отношений. Доклады AH CCCP 165, 1011–1014 (1965). (MR32, #5762).
Шайн, Б.М.: Алгебры отношений. Доклады Мезвуэовск. научн. симпоэ. по общ. алгебре, Tapty, 1966, 130–168. (MR34, #2753)
Шайн, Б.М.: Теория полугрупп как теория суперпозпций многоместных функций. Доклады Межвузовск. научн. симпоз. по общ. алгебре. Тарту, 1966, 169–190. (MR34, #2741).
Шайн, Б.М.: Трансформативные полугруппы преобразований. Матем. сб. 71, 65–82 (1966). Amer. Math. Soc. Translations (2)76, 1–19 (1969).
Шайн, Б.М.: Рестриктивные биполугруппы отображений. Изв. высш. учебн. завед., Матем. № 1 (56), 115–121 (1967). (MR35, #1690).
Шайн, Б.М.: Дифференцируемое многообразие характеризуется рестриктивной биполугруппой своих координатных систем. Тезисы докладов З Прибалт. геометр. Паланга, 1968, 171–172.
Шайн, Б.М.: Рестриктивно-мультипликативные полугруппы. Резюме научн. сообщ. 9 Всесоюзн. алгебр. коллокв. Гомель, 1968, 203–210.
Шайн, Б.М.: Реферат работы 66. РЖМат, 1967, 12A 177.
Шайн, Б.М.: Рестриктивные биполугруппы квазиоднозначных бинарных отношений. Изв. высш. учебн. завед., Матем. № 5 (84) (1969), 73–84.
Шайн, Б.М.: Проекционные разбиения полугрупп. Резюме докл. 10 Всесоюузн. алгебр. коллокв. Новосибирск, 1, 97–98 (1969).
Шайн, Б.М.: Представление полугрупп. Доклады Всесоюзн. межвузовск. симпоз. по теор. полугрупп. Свердловск, 1969, 79–89.
Schein, B. M.: On some problems in the theory of partial automata. Kybernetika (Czechoslovakia)5, 44–49 (1969).
Шайн, Б.М.: Стационарные подмножества и стабилизаторы в полугруппах. Матем. сб. 80 (1969).
Шайн, Б.М.: Рестриктивно-мультипликативные алгебры преобразований. Изв. высш. учебы. завед., Матем.
Schein, B.M.: Linearly fundamentally orderable semigroups. Colloq. Math. (submitted).
Шайн, Б.М. и В.С. Гарвацкий (V. S. Garvackiî): Инъективные и сюръективные морфизмы в абстрактных категориях. Coll. Math. (submitted).
Schweizer, B., and A. Sklar: The algebra of functions. Math. Ann.139, 366–382 (1960).
Schweizer, B., and A. Sklar: The algebra of functions II. Math. Ann.143, 440–447 (1961).
Schweizer, B., and A. Sklar: The algebra of functions III. Math. Ann.161, 171–196 (1965).
Schweizer, B., and A. Sklar: Function systems. Math Ann.172, 1–16 (1967).
Сушкевич, А.К. (A. K. Suschkewitsch): Теория действия, как общая теория групп. Диссертация. Воронеж, 1922.
Сушкевич, А.К.: Über die Darstellung der eindeutig nicht umkehrbaren Gruppen mittels der verallgemeinerten Substitutionen. Матем. сб. 33, 371–374 (1926).
Сушкевич, А.К.: Теория обобщенных групп. Харъков. Гос. научно-техн. изд-во Украины 1937.
Sonner, J.: On the formal definition of categories. Math. Z.80, 163–176 (1962).
Stone, M. H.: The theory of representations for Boolean algebras. Trans. Amer. Math. Soc.40, 37–111 (1936).
Tarski, A.: On the calculus of relations. J. Symb. Logic6, 73–89 (1941).
Tarski, A.: Contributions to the theory of models II. Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wetensch.A57, 582–588 (1954).
Tarski, A.: Contributions to the theory of models III. Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wetensch.A58, 56–64 (1955).
Thierrin, G.: Contribution à la théorie des anneaux et des demi-groupes. Comment. Math. Helv.32, 93–112 (1957).
Вагнер, В.В. (V. V. Vagner): Представленпе упорядоченных полугрупп. Матем. сб. 38, 203–240 (1956). Amer. Math. Soc. Translations (2)36, 295–336 (1964).
Вагнер, В.В.: Трансформативные полугруппы. Изв. высш. учебн. завед., Матем. № 4 (17), 36–48 (1960). Amer. Math. Soc. Translations (2) 36, 337–350 (1964).
Вагнер, В.В.: Рестриктивные полугруппы. Изв. высш. учебн. завед., Матем. № 6 (31), 19–27 (1962).
Whitlock, H.: A composition algebra for multiplace functions. Math. Ann.157, 167–178 (1964).
Зарецкий, К.А. (K. A. Zareckiî): Представление упорядоченных полугрупп бинарными отношениями. Изв. высш. учебн. завед., Матем. № 6 (13), 48–50 (1959).
Зарецкий, К.А.: Абстракная характеристика класса полугрупп частично рефлексивных бинарных отношений. Сибирск. матем. ж. 8, 1299–1306 (1967). (MR36, #1568).
Kochen, S.: Ultraproducts in the theory of models. Annals of Math.74, 221–261 (1961).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Schein, B.M. Relation algebras and function semigroups. Semigroup Forum 1, 1–62 (1970). https://doi.org/10.1007/BF02573019
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02573019