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Literatur
Ricerche sulla varietà cubica generale ..., Ann. di Matem (3), vol. 10 (1904), p. 251. Questa Memoria verrà indicata in seguito semplicemente con “Ann. di Matem.”. V. anche la mia Nota: Sulle curve ovunque tangenti a una quintica piana generale, Comm. Mathem. Helvetici, vol. 12 (1939–40), p. 172; in part. n. 2, 3.
Una notevole superficie di 50 ordine con soli punti doppi isolati, FestschriftRudolf Fueter, Beiblatt zur Vierteljahrschrift der Naturf. Ges. in Zürich, Zürich 1940.
Faremo uso della notazione abituale, indicando conB un punto doppio biplanare, e coll'indice la diminuzione da esso portata alla classe della superficie.
Nel senso di cui in Ann. di Matem., n. 2 e seg.
Nessuna retta può appartenere a ∞4 quadriche del sistema Σ, perchè in caso contrario questo sistema avrebbe su di essa qualche punto base.
La considerazione delle rette speciali può estendersi a qualunque sistema lineare ∞5 di quadriche dello spazioS 5, anche se queste non sono le prime polari dei punti di questo spazio rispetto a una forma cubica. E così per un sistema lineare ∞n di quadriche inS n. In due altri miei lavori Mem. R. Accad. Torino (2), vol. 51 (1901), p. 1; Rend. Circolo Matem. Palermo, vol. 29 (1910), p. 98) le ho chiamate, pern=3, rette “principali”, traducendo così il termine tedesco “Hauptstrahlen”, usato daTh. Reye e altri; ma nel caso presente, per questioni concernenti forme cubiche, preferisco conservare il nome di rette “speciali”, già prima adottato daEnriques (Giorn. di Matem., vol. 31 (1893), p. 31).
Fra queste, ∞1 sono rigate diCayley, cioè colla retta doppia direttrice rettilinea unica e in pari tempo generatrice; in corrispondenza a quelle rette speciali lungo le qualiV ammette un piano osculatore fisso.
Severi, Rend. R. Accad. Lincei (5), vol. 15 (1906)2, p. 691.
Cfr. p. es. Ann. di Matem., n. 4.
LaC 1514 è tangente aV nei primi due punti e osculatrice negli ultimi due (Ann. di Matem., n. 15); incontra perciò ulteriormenteV in 15.3−(2.2+3.2)=35 punti. Da ciò si trae che in ogni fascio diS 4 bitangenti aV vi sono 35 spazi tritangenti.—Più generalmente, ogni fascio di iperpiani bitangenti a una forma cubica generale diS n (n>2) contiene 3(2n−1−n)+2 iperpiani tritangenti.
Quandor è una retta speciale, la curva γ31 si spezza in questa stessa retta (che di ogni suo punto contiene allora un coniugato) e nellaC 1514 residua contata due volte. Il genere di γ (che non interessa però pel seguito) è 60 (e, per la curva analoga in uno spazioS n, è (n−1)(2n−1−1)). Lo si può determinare facilmente nel caso in cui il sistema Σ si compone delle quadriche aventi un dato simplex autopolare, poichè la curva in parola è allora composta delle rette che corrispondono ar nelle singole omografie involutorie aventi come spazi di punti uniti le coppie di elementi opposti del detto simplex.
Rappresentiamo la curva γ nell'intorno diM, in coordinate non omogenee, colle equazioni parametrichex i=aiti+...(i=1,2,...5), dove i termini non scritti contengonot a grado maggiore dii, ea 1,a 2≠0; e il cono quadricoM′ (o anche una qualunque ipersuperficie) contenente γ e la sua tangente inM coll'equazioneA 2x2+...+A5x5=0. Sostituendo in questa le espressioni dellex i, dovremo avere un'identità, e dovrà perciò mancare l'unico termine eventuale int 2; vale a dire il polinomioA 2 dovrà mancare del termine noto. L'equazione dell'S 4 tangente inM al cono o ipersuperficie dovrà perciò essere soddisfatta perx 3=x4=x5=0; ossia questoS 4 conterrà il piano osculatore a γ inM.
Per i casi analoghi negli spaziS 3 eS 4 cfr. Ann. di Matem., n. 13–16.
Le singole generatrici della rigataR 56 incontranoV, oltre che sulla rettar direttrice 31pla diR 56, nei punti di una linea che ha 6 punti doppi nelle intersezioni di γ collar (dove le generatriciMM′ sono tangenti tripunte diV) e 25.2=50 altri punti in ogni spazioS 4 passante perr: curva perciò di ordine 62. L'ulteriore intersezione diR 56 conV, di ordine 56.3−(31+62)=75, è appunto costituita dalle 75 rette speciali contenute inV e appoggiate ar.
Per una forma cubica diS 4 il numero (30) delle rette speciali appoggiate a una sua retta genericar è stato da me determinato in Ann. di Matem. n. 8, 9 per vie completamente diverse da quella qui usata nello spazioS 5. Nello spazioS 4 la curva analoga a γ è di ordine 15 e si appoggia ar incinque punti, nei quali è del pari osculatrice alla forma cubica; e si ha appunto 15.3−3.5=30. In generale, per una forma cubica diS n questo numero è 3(2n−n−2). Pern=3 le 27 rette di una superficie cubica generale sono tutte rette speciali e costituiscono l'intersezione completa con una superficie di ordine 9.
Nello spazioS 3 la congruenza (7,3) delle rette speciali (o principali) di un sistema lineare ∞3 di quadriche senza punti basi—in particolare delle quadriche polari rispetto a una superficie generale del 30 ordine—dà un esempio molto semplice di superficie regolare di genere zero e bigenere uno (cfr. i miei lavori Mem. R. Accad. di Torino (2), vol. 51 (1901), p. 1, in part. § 14; Rend. Circolo Matem. Palermo, vol. 29 (1910), p. 98). Ho voluto perciò esaminare se l'analogo sistema ∞3 di rette speciali diS 4 (Ann. di Matem., in part. n. 2, 3) costituisse una varietà a 3 dimensioni anche di genere zero, tale da dar lume sulla questione ancora incerta delle condizioni di razionalità di queste ultime varietà. Ma non è così; si tratta—nello spazioS 9 della Grassmanniana delle rette diS 4—di una varietà di genereuno a superficie-sezioni canoniche. L'ordine della varietà è ad. es. quello della rigata intersezione del sistema ∞3 delle rette speciali con due complessi lineari; in particolare della rigata delle rette incidenti a due piani dati, ∈ composta a sua volta, se i due piani stanno in unS 3 e perciò si incontrano in una rettal, di due rigate; l'una avente lal come direttrice, l'altraR contenuta nel detto spazioS 3. La prima, analoga allaR 56 qui considerata nel testo, è di ordine 25 e genere 21. Quanto alla seconda, occorre considerare la superficief 5 intersezione dello spazioS 3 colla Hessiana della forma cubica; la curvaC 1011 intersezione dif 5 colla (ossia sezione iperpiana della) superficie luogo dei punti coniugati di quelli dif 5 nell'involuzione (analoga allaT del n. 2) delle coppie di punti reciproci rispetto a tutte le quadriche del sistema ∞4; e su questaC 1011 , coniugata di sè stessa, l'involuzione γ 12 delle coppie in essa contenute; involuzione priva di punti doppi, e perciò di genere 6. Questa γ 12 genera la rigataR richiesta, di ordine 10 e genere 6, avente a comune colla prima 10 generatrici. Il sistema ∞3 di rette considerato ha quindi per immagine una varietàM 35 diS 9, a curve-sezioni di genere 21+6+10−1=36, e le cui superficiesezioni sono superficie canoniche di genere 9: varietà pertanto di genere uno.
V. il mio lavoro cit. di questi Comm. Mathem. Helvet., vol. 12, n. 2, 3, e altri lavori ivi menzionati.
Togliatti, l. c.
Se alla retta genericar della forma cubicaV si sostituisce una retta speciales, lungo la quale cioè gli spaziS 4 tangenti aV siano tutti bitangenti nelle coppie di punti di un'involuzione, potremo prendere come punti fondamentali 4 e 5 i punti doppi di questa involuzione. Questi saranno allora reciproci rispetto a tutte le coniche intersezioni diV coi piani passanti pers; e sarà identicamente nullo il polinomiob 1. Il cono Δ si spezza pertanto come luogo nei due piania 1=0,c 1=0, e come inviluppo nel loro fascio contato due volte; e la curva δ5 si spezza nella rettaa 1=c 1=0 e nelle due conichea 1=a 2=0 ec 1=b 2=0. I punti di δ5 provengono infatti dai piani che passano pers e incontranoV secondo terne di rette di un fascio; e queste terne nel caso presente o stanno nello spazioa 1=c 1=0, che segaV in una rigata cubica, e comprendono allora fra le tre rette las come doppia; oppure escono da uno dei due punti 4 e 5, le cui quadriche polari sono coni e contengono infiniti piani passanti pers. L'equazione della superficieF 5 è in tal casoa 1 c1a3−a1b 22 −c1a 22 =0; essa è tangente ai piania 1=0 ec 1=0 rispett. lungo le conichea 1=a 2=0 ec 1=b 2=0, e ha su ciascuna di queste 8 punti doppi (a 1=a2=c1a3−b 22 =0, risp.c 1=b2=a1a3−a 22 =0).
E così è realmente (cfr. anche le ultime due linee della nota 19) Se alla retta genericar della forma cubicaV si sostituisce una retta speciales, lungo la quale cioè gli spaziS 4 tangenti aV siano tutti bitangenti nelle coppie di punti di un'involuzione, potremo prendere come punti fondamentali 4 e 5 i punti doppi di questa involuzione. Questi saranno allora reciproci rispetto a tutte le coniche intersezioni diV coi piani passanti pers; e sarà identicamente nullo il polinomiob 1. Il cono Δ si spezza pertanto come luogo nei due piania 1=0,c 1=0, e come inviluppo nel loro fascio contato due volte; e la curva δ5 si spezza nella rettaa 1=c 1=0 e nelle due conichea 1=a 2=0 ec 1=b 2=0. I punti di δ5 provengono infatti dai piani che passano pers e incontranoV secondo terne di rette di un fascio; e queste terne nel caso presente o stanno nello spazioa 1=c 1=0, che segaV in una rigata cubica, e comprendono allora fra le tre rette las come doppia; oppure escono da uno dei due punti 4 e 5, le cui quadriche polari sono coni e contengono infiniti piani passanti pers. L'equazione della superficieF 5 è in tal casoa 1c1a3−a1b 22 −c1a 22 =0; essa è tangente ai piania 1=0 ec 1=0 rispett. lungo le conichea 1=a 2=0 ec 1=b 2=0, e ha su ciascuna di queste 8 punti doppi (a 1=a2=c1a3−b 22 =0, risp.c 1=b2=a1a3−a 22 =0). Sono i 16 punti che annullano tutti i minori di 20 ordine del determinante simmetrico (2); il loro numero fu determinato, per un determinante simmetrico di tipo anche più generale, daGiambelli (Atti. R. Accad. di Torino, vol. 41 (1905), p. 102).
È escluso ovviamente anche il caso in cuir conti essa doppiamente nella terna di rette, come pel piano ϱ del n. 1.
Severi, Trattato di geometria algebrica, vol. I, parte I (Bologna 1927), p. 253.
Il piano tangente in 0 alla superficieF 5 è la traccia dello spazio Σ4 tangente aV nel puntort (n. 1). UnS 3 generico pel piano ϱ≡rt incontraV in una superficie cubica ϕ3 con due punti doppi conici sur, per la quale ϱ conta solo semplicemente fra i piani tritangenti che passano perr; 0 è pertanto punto semplice diF 5. Se però questoS 3 è contenuto nello spazio Σ4, uno dei punti doppi di ϕ3 cade inrt e è biplanare; il piano ϱ assorbe perciò almeno due dei piani passanti perr e tritangenti a ϱ. Ne assorbe tre per due distinti di questi ultimiS 3, le cui tracce sono perciò le due tangenti tripunte dellaF 5 in 0. Uno di questi contiene oltre ϱ il secondo piano passante perr e contenuto nella bito da quelio biplanare, che diventa di tipoB 5; e ha per traccia la generatrice del cono Δ tangente in 0 alla δ5. L'altro è determinato dal piano ϱ e dal piano tangente aV lungo lat; esso sega una ϕ3 per la quale il puntort è biplanare di tipoB 4 collat come intersezione dei due piani tangenti; e che ha in più sur un punto doppio conico.
Nel piano, la tangente a una curva in una cuspide (di 1a specie) è elemento semplice per la curva inviluppo. Il caso duale di quello qui considerato è quello di due curve piane tangenti in un loro comune punto semplice, che è per di più flesso di una di esse e non tale per l'altra: esso assorbe evidentemente due sole loro intersezioni.
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Fano, G. Alcune questioni sulla forma cubica dello spazio a cinque dimensioni. Commentarii Mathematici Helvetici 16, 274–283 (1943). https://doi.org/10.1007/BF02568580
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