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Literatur
Von den letzten beiden Ungleichungen beweisen wir nur die erste: Wäre nämlichx 1 so weit vona entfernt, daß ihre Differenz größer, als π√λn/a ausfälle, so müßte zwischena undx 1 noch eine Wurzel von (2. 1) sein, was aber im Widerspruch mit der Tatsache steht, daßx 1 die kleinste Wurzel vony n ist.
Diesen Satz habe ich mit variationstheoretischen Hilfsmitteln in einer weniger allgemeinen Form schon bewiesen. [Über eine Eigenwertabschätzung usw. Compositio Mathematica 6, (1939) 368–374]. Diese spezielle Form des Satzes reicht aber zur Behandlung der hier zu betrachtenden Probleme nicht überall aus.
Siehe z. B. A. R. Forsyth: Lehrbuch der Differentialgleichungen (deutsch von H. Maser), Braunschweig, 1889, S. 103.
Diesen Satz habe ich in einer spezielleren Form schon bewiesen. Vgl.E. Makai: Eine Eigenwertabschätzung bei gewissen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Matematikai és Fizikai Lapok, 48, 1941, 510–532. (Ungarisch mit deutschem Auszug.)
Aus dem Beweisgange geht hervor, daß wir unsere Aussage auch folgendermaßen formulieren können: Wenn im Intervalle (a, b)p(x) undq(x) den vorgeschriebenen Bedingungen Genüge leisten,t(x)>0 und √λq(x)/p(x) ist, ferner eine Lösung der Differentialgleichung (3.7) an einem Endpunkt des Intervalles (a, b) verschwindet, dann hat diese Lösung noch eine Nullstelle im Inneren des Intervalles (a, b).
Stieltjes: Sur les racines de l'équationX n=0. Acta Math. 9 (1886), 385–400.Szego: Inequalities for the zeros of Legendre polynomials etc. Trans. Amer. Math. Soc. 39 (1936), 501–513.
Im Falle b) gibt es eine bessere Abschätzung, als (4.9) für die Wurzelabstände einer ultrasphärischen Funktion, nämlich (G. Szegö: Orthogonal Polynomials, New York, 1939, S. 121).
Streng genommen müssen wir hier zwei Fälle unterscheiden: den Fall (n+1) (n+2l-1)>0 und ≦0. Unser Gedankengang läßt sich nur im ersten Falle anwenden. Der zweite Fall läßt sich aber leicht erledigen und führt zu demselben —hier nichtssagenden—Ergebnis (4.8).
Wir beschränken uns absichtlich auf den Fall polynomialer Lösungen, obwohl wir auf gleichem Wege Nullstelleneinschränkungen für alle Lösungen von (5. 1) bzw. (5. 2) ableiten könnten, auch bei nichtganzzahligenn.
Formel (5. 5) habe ich in meiner in Fußnote 4) zitierten, in ungarischer Sprache erschienenen Arbeit bewiesen.
F. Zernike: Eine asymptotische Entwicklung für die größte Nullstelle der Hermite'schen Polynome. Proc. Royal Acad. Amsterdam,34 (1931), 673–680.
Eine andere Deutung der ZahlenX (0) k ist, wie leicht zu beweisen ist, die folgende: wennsk diek-te positive Nullstelle der FunktionJ −1/3(x)+J 1/3(x) bedeutet, dann ist 2/3(−X k(0) )3/2=s k.
G. G. Stokes: On the numerical calculation of a class of definite integrals and infinite series. Trans. Cambr. Phil. Soc. IX., I, (1850), 166, Neudruck in den Mathematical and Physical Papers ofG. G. Stokes, Bd. II, 1883, 329–357.
Über die Nullstellen der Hermite'schen Polynome. Jahresbericht d. Deutschen Mathem.-Vereinigung 44 (1934), 162–165.
Sur les valeurs asymptotiques des polynomes d'Hermite... Comm. Math. Helv., 1 (1929) 227–254.
Generalizzazione di una formula asintotica sui polinomi di Laguerre e sue applicazioni. Atti della Reale Accad. d. Science di Torino. 76 (1941), 288–316.
Der angeführte Satz lautet: Wenn die Funktion σ (x) im endlichen oder unendlichen Intervalle (a, b) endlich, stetig und negativ ist, dann kann diejenige Lösung der Differentialgleichungy″+σ(x)y=0, deren Derivat an einem Endpunkte des Intervalles verschwindet, im Intervalle (a, b) keine Nullstellen besitzen.
E. Moecklin: Asymptotische Entwicklungen der Laguerre'schen Polynome. Comm. Math. Helv. 7, 1935, 24–46.
In den folgenden machen wir von der Tatsache ausgiebig Gebrauch, daß für ϑ>0 das Vorzeichen der beiden Größen gleich dem Vorzeichen von (−l)n ist. (SieheG. H. Hardy: A course of pure mathematics, 7. Aufl. Cambridge, 1938, S. 237).
Proc. Roy. Soc. Acad. Amsterdam, 34 (1931), 677–680.
Tricomi gibt die Näherungswerte nachMoecklin's Formel mit einer Genauigkeit von 4 Dezimalen an, die aber (0,1355, bzw. 29,9303) schon im dritten Dezimal unrichtig sind. Die Näherungswerte nachTricomi's Methode habe ich wegen der schwierigen Weise der Auswertung nicht nachgerechnet.
Als ein Gegenstück dieser Abschätzung vgl. Formel (9. 11a).
λ sei nichtnegativ, was nötigerweise durch die Substitutionen λ→−λ,x→x+π/2 erreicht werden kann.
Wegen der Periodizität der Mathieu'schen Funktionen genügt es, unsere Behauptung nur für das Intervall Jo zu beweisen. Es gelten die Symmetrie-, bzw. Antisymmetriebeziehungen Daraus folgt, daß wenn π/2−σ eine Nullstelle einer Mathieu'schen Funktion ist, π+ξ auch Nullstelle derselben Funktion ist. Nun kann eine Lösung von (11.1) nach einem allgemeinen Satz nur eine Nullstelle in Jo besitzen. Dies kann aber nur π/2 sein. Es folgt aber aus den obigen Relationen, daß se2v und ce2v+1 x beix=π/2 verschwinden. Andererseits können die Funktionen se2v+1 x und ce2v x and diesen Stellen nicht verschwinden. Angenommen nämlich, daß ihr Wert beix=π/2 gleich 0 wäre, müßten sie nach den obigen Beziehungen an dieser Stelle eine doppelte, oder 2p-fache Nullstelle haben, was aber in Widerspruch mit der Tatsache steht, daß diese Funktionen nur einfache Wurzeln besitzen.
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Makai, E. Über die Nullstellen von Funktionen, die Lösungen Sturm-Liouville'scher Differentialgleichungen sind. Commentarii Mathematici Helvetici 16, 153–199 (1943). https://doi.org/10.1007/BF02568572
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02568572