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Literatur
Wegen der Theorie der Überlagerungen vgl. manSeifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie (Leipzig-Berlin 1934), 8. Kap.; ferner:H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche (Leipzig-Berlin 1913), § 9;H. Hopf, Zur Topologie der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, 2. Teil, Math. Annalen 102 (1929), 562–623, § 1.
Der Raumbegriff wird in Nr. 1 präzisiert werden.
H. Freudenthal, Über die Enden topologischer Räume und Gruppen, Math. Zeitschrift 33 (1931), 692–713.
In dem letzten Fall bilden die Enden, in einem noch zu präzisierenden Sinne, eine diskontinuierliche perfekte Menge (Nr. 11).
l. c., Satz 15.
Seifert-Threlfall, l. c., Lehrbuch der Topologie (Leipzig-Berlin 1934), 218.
Ein Streckenkomplex heißt ein Baum, wenn er keinen geschlossenen Streckenzug enthält; er heißt regulär vom Graden, wenn von jedem Eckpunkt genaun Strecken ausgehen.
Ein Beispiel einer offenen Fläche mit unendlich vielen Enden, die reguläre Überlagerung einer geschlossenen Fläche ist, findet man beiv. Kerékjártó, Vorlesungen über Topologie (Berlin 1923), 181–182.
Man beachte jedoch Fußnote 17.
l. c. Man beachte jedoch Fußnote § § 1, 2.
Indem ich nicht zwischen „Endpunkt” und „Ende” unterscheide, weiche ich etwas von Freudenthals Terminologie ab.
Ein „Polyeder” ist ein Raum, der homöomorph mit einem, „Euklidischen Polyeder” im Sinne vonAlexandroff-Hopf, Topologie I (Berlin 1935), 129, ist; dies ist auf Grund des „Einbettungssatzes”, l. c., 158–159, gleichbedeutend damit, daß der Raum eine Simplizialzerlegung gestattet, die ein „absoluter Komplex” (l. c., 156) ist. Für die unendlichen Polyeder ist die Eigenschaft der „lokalen Endlichkeit” (l. c., 129) wichtig; sie wird im folgenden benutzt.
Man vgl. z. B.van der Waerden, Gruppen von linearen Transformationen (Berlin 1935), 35.
Dieser Hilfssatz, wie auch der übridge Inhalt unseres § 2, hängt eng zusammen mit den Sätzen des 2. Kapitels in der Arbeit 3) von Freudenthal.
Man vgl. z. B.Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, (Leipzig 1914), 320;Alexandroff-Hopf, l. c. Ein „Polyeder” ist ein Raum, der homöomorph mit einem „Euklidischen Polyeder” im Sinne vonAlexandroff-Hopf, Topologie I (Berlin 1935), 121.
Wenn man jedes der oben genanntenn Dreiecke nur als eine einzige „Strecke” mit zusammenfallenden Endpunkten deutet, so sind die unendlichen Polygone oder StreckenkomplexeR die „Dehnschen Gruppenbilder” vonG; zu jeder Erzeugung vonG durch endlich viele Elemente gehört ein solches Gruppenbild.
In einem gewissen Sinne sind diese Aufgaben natürlich dadurch zu lösen, daß man ein Gruppenbild 16)R vonG betrachtet und die Beschreibung der Enden vonR aus der Sprache unserer Nr. 3 ins Algebraische übersetzt, was keine prinzipielle Schwierigkeit bietet. Das Gruppenbild hängt aber noch von der speziellen Wahl der Erzeugenden vonG ab, und erwünscht wäre es, ohne Bezugnahme auf ein spezielles System von Erzeugenden ein Kriterium dafür zu kennen, wann eine Folgef 1,f 2, ... von Gruppenelementen zu einem Ende gehört.
l. c., In einem gewissen Sinne sind diese Aufgaben natürlich dadurch zu lösen, daß man ein Gruppenbild 16)R vonG betrachtet und die Beschreibung der Enden vonR aus der Sprache unserer Nr. 3 ins Algebraische übersetzt, was keine prinzipielle Schwierigkeit bietet. Das Gruppenbild hängt aber noch von der speziellen Wahl der Erzeugenden vonG ab, und erwünscht wäre es, ohne Bezugnahme auf ein spezielles System von Erzeugenden ein Kriterium dafür zu kennen, wann eine Folgef 1,f 2 ... von Gruppenelementen zu einem Ende gehört. § 3.
Der Beweis ist mit Hilfe von Gruppenbildern zu führen.
Seifert-Threlfall, l. c. Ein „Polyeder” ist ein Raum, der homöomorph mit einem „Euklidischen Polyeder” im Sinne vonAlexandroff-Hopf, Topologie I (Berlin 1935), 300.
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Herrn C. Carathéodory zum 70. Geburtstag.
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Hopf, H. Enden offener Räume und unendliche diskontinuierliche Gruppen. Commentarii Mathematici Helvetici 16, 81–100 (1943). https://doi.org/10.1007/BF02568567
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