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Über gewisse ganze Funktionen vom Exponentialtypus

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Commentarii Mathematici Helvetici

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Literatur

  1. R. Paley andN. Wiener, On entire functions, Trans. Amer. Math. Soc. 35 (1933). b)R. Paley andN. Wiener, Fourier Transforms in the Complex Domain, Amer. Math. Soc. Coll. Pub. 19 (1934), chap. 5. c)M. L. Cartwright, On functions which are regular and of finite order in an angle, Proc. London Math. Soc. (2) 38 (1935), p. 158–179. d)M. L. Cartwright, On certain integral functions of order 1 and mean type, Prco. Cambridge Phil. Soc. 34 (1935), p. 347–350. e)N. Levinson, On the closure of {λnx} and integral functions, Proc. Cambridge Phil. Soc. 31 (1935), p. 335–346. f)N. Levinson, Gap and Density Theorems, Amer. Math. Soc. Coll. Pub. 26 (1940).

  2. d. h. ganze Funktionen für die |π(z)|<eK|lK| ist.

  3. Für gerade Funktionen stammt das Resultat vonPaley undWiener, für beliobigos π (z) wurde es vonCartwright undLevinson bewiesen, zunächst mit andern Voraussetzungen, welche die obigen in sich schließen. Für die vorliegende Form vgl.N. Levinson in Fußnote 1 f), S. 25.

  4. x undy sind im folgenden immer reell.

  5. A. Wiman, Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, 1 (1904).A: Pringsheim, Math. Ann. 58 (1904).E. Lindelöf, Sur les fonctions entières d'ordre entier, Annales sci. de l'Ecole Normale (3) 22 (1905), p. 369–395.M. L. Cartwright, Integral functions of integral order, Proc. London Math. Soc. (2) 33, (1932), p. 209–224.

  6. Der Grenzwert existiert auch für φ=0 und π, wennr auf einer geeigneten Menge von linearer Dichte 1 gegen ∞ strebt.

  7. in Fußnote 5, S. 212. Der Satz wird dort allgemein für den Mitteltypus ganzor Ordnungen ρ und beliebige Nullstellen mitn(r)=0 (r ρ) ausgesprochen.

  8. vgl. Fußnote 6. Der Grenzwert existiert auch für φ=0 und π, wennr auf einer geeigneten Menge von linearer Dichte 1 gegen ∞ strebt.

  9. sofern die Strecke sich nicht auf einen Punkt reduziert.

  10. Für φ≠0 und π gilt lim ε(r,ϕ). Es strebt ε(r, φ) auch für φ=0 und π gegen Null, wennr auf einer geeigneten Menge von linearer Dichte 1 gegen ∞ strebt.

  11. vgl. Anmerkung 10.

  12. Umgeht man den Nullpunkt zunächst durch einen kleinen Halbkreis, dosson Radius man dann gegen Null streben läßt, so erkennt man wegen π (0)=1 sofort, daß das Integral beix=0 konvergiert.

  13. Fußnote 1b), Fourier Transforms in the Complex Domain, Amer. Math. Soc. Coll. Pub. 19 (1934), chap. 5. S. 70 und 74.

  14. Fußnote 5, S. 375.

  15. Fußnote 5, S. 213. Der Satz wird allgemein für den Mitteltypus ganzer Ordnung ausgesprochen, vgl. auch Fußnote 1 c) S. 178.A. Wiman, Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, 1 (1904).A: Pringsheim, Math. Ann. 58 (1904).E. Lindclöf, Sur les fonctions entières d'ordre entier, Annales sci. de l'Ecole Normale (3) 22 (1905), p. 369–395.M. L. Cartwright, Integral functions of integral order, Proc. London Math. Soc. (2) 33 (1932), p. 209–224.

  16. Fußnote 10. Für φ≠0 und π gilt lim ε(r,ϕ). Es strebt ε(r, φ) auch für φ=0 und π gegen Null, wennr auf einer geeigneten Menge von linearer Dichte 1 gegen ∞ strebt.

  17. H. Rademacher Über die asymptotische Verteilung gewisser konvergenzerzeugender Faktoren, Math. Zeitschrift 11 (1921), S. 276–288; insbes. Satz 3, S. 279.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  18. Im Falle nichtganzer Ordnung vgl.O. Mäder, Über das asymptotische Verhalten meromorpher Funktionen bei speziell gegebener Null- und Polstellenverteilung, Dissertation Freiburg, 1942.

  19. Fußnote 1 f). Dieses Resultat, das vonLevinson in schwächerer Form ausgesprochen wurde, ergibt sich aus dem Beweis von Lemma 9. 1, S. 28, der'nur benützt, daß π(z) vom Exponentialtypus ist und das Integral auf der linken Seite (9.5) beiR→∞ boschränkt bleibt.

  20. Dies verallgemeinert in Verbindung mit (9.4) einen Satz vonPalsy undWiener, vgl. Fußnote 1 b). Fourier Transforms in the Complex Domain, Amer. Math. Soc. Coll. Pub. 19 (1934), chap. 5. Satz 13, S. 75.

  21. S(r) undS o (r) sind gleichzeitig beschränkt [vgl. (11.5)].

  22. FallsS(r) konvergiert, ist π(z) von “regulärem asymptotischen Verhalten”. Es wird also im vorliegenden Falle durch Satz 6 eine Frage beantwortet, welche unter andern Bedingungen in einer frühern Arbeit [Comm. Math. Helv., 14 (1942), S. 314–349] behandelt wurde. Ist nämlich die ganze Funktion vom Exponentialtypus und regulärem asymptotischen Verhalten, so ist die Nullstellenverteilung “meßbar” undS(r) konvergent. Sind nun umgekehrt die Meßbarkeit der Nullstellenverteilung und die Konvergenz vonS(r) auch hinreichende Bedingungen für reguläres asymptotisches Verhalton des zugehörigen kanonischen Produktes? Falls die Nullstellen nach Maßgabe von (9.9) hinreichend genau in Richtung der reellen Achse liegen, ist gemäß Satz 6 diese Frage zu bejahen.

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  1. Fribourg

    A. Peluger

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  1. A. Peluger
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Peluger, A. Über gewisse ganze Funktionen vom Exponentialtypus. Commentarii Mathematici Helvetici 16, 1–18 (1943). https://doi.org/10.1007/BF02568560

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