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Literatur
VergleicheR. Courant undD. Hilbert, Methoden der mathematischen Physik I, 2. Auflage, S. 141 undE. Czuber, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung I, 4. Auflage, S. 288–291.Lösung: Erreicht kein Innenwinkel des DreiecksA 1 A 2 A 3 den Wert 2 π/3, so fällt das Minimum in denjenigen Punkt im Innern, von dem aus die Seiten unter dem Winkel 2 π/3 gesehen werden. Andernfalls liefert derjenige Eckpunkt den kleinsten Funktionswert, für welchen die Summe der anstoßenden Dreieckseiten am kleinsten ausfällt.
Vollständig dargestellt inC. Carathéodory, Variationsrechnung, 1. Teil, S. 6–7, 2. Teil, S. 164–189.
4. Kapitel, S. 85–89, S. 114–115. Dazu tritt noch die Indexrechnung.
Zur Entlastung des Druckes werden die verschiedenen Stütz- und Einheitsvektoren nur dann gesondert bezeichnet, wenn es unvermeidlich ist. Aus dem gleichen Grunde wird die Summationsbezeichnung künftig vereinfacht.
Der FallD Punktmenge kann nicht eintreten.
Ungerade Zahl von Punkten auf einer Geraden, eine Anzahl Geraden, deren kürzeste Abstände sich in einem Punkte schneiden oder berühren, eine Ebenenschar durch einen Punkt u. a. m.
Die Alternative kommt tatsächlich vor. Sind von 4 Ebenen je 2 parallel, so bleibtS (3) auf dem ganzen Parallelepiped konstant. Ähnlich liegen die Verhältnisse fürS (2), wenn 3 Geraden ein gleichseitiges Dreieck bilden.
Bei Wahl der in §3 erwähnten Koordinaten stellt man mühelos fest, daß die 1. Terme vonS uu ,S vv undS ww positiv ausfallen. Man benötigt 6) und 9).
Sonst würden nämlich Komplikationen entstehen.
Es erscheint natürlicher,S in der Umgebung einer vorgegebenen Geraden nach Potenzen vonr undz, in der Umgebung eines Punktes ausE nach Potenzen vonr allein zu entwickeln; an dieser Stelle ist dies aber nicht nötig, da die Nichtexistenz eines Maximums schon gesichert ist.
a i =a i (cos α i , sin α i ). ϕ−α i ist derjenige Winkel, unter welchem (ж−α i ) vom NullpunktP 1 aus gesehen wird.
Um kein Gleichheitszeichen berücksichtigen zu müssen, ist nur der triviale Fall auszuschließen, wo alle Punkte auf ein und derselben Geraden liegen.
Vergleiche die entsprechende Stelle in § 6.
Seine Koeffizienten gleich Null gesetzt gestatten eindeutige Auflösung nacha n−3 ,a n−4 ...a 0. Diese werden Funktionen derp e , und somit ist die gesuchte Gleichung von Fall zu Fall festgelegt, soferna n−3 =a eindeutig bestimmbar ist.
Gilt |z *1 |=1, so tritt ein Doppelpunkt auf. Fürz *1 =0 bleibt fürz *2 ein Freiheitsgrad erhalten.
Setzt man etwaz *1 =sin β·e iω, so folgt:a=sin2β·e 2|iω−cos2β·e i(2ω+π)+p 2, also eindeutige Bestimmung.
Ausnahmefälle sind die in §2 namhaft gemachten Punktverteilungen, sowie die für ungeradesu nicht trivialen Konstellationen, welche sich auf ein reguläresn-Eck reduzieren lassen.
Gleichung und Lösung gelten selbstredend in der Weise, daß jeder Komponente im allgemeinen verschiedene Werte vonp 1 undp 2 zukommen.
Die Schreibweise ist symbolisch. Es handelt sich um drei unabhängige Winkel θ1, θ2, θ3.
Sie besitzen Diagonalen, die sich im Kugelmittelpunkt schneiden.
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Bieri, H. Ein geometrisches Minimumproblem. Commentarii Mathematici Helvetici 22, 103–114 (1949). https://doi.org/10.1007/BF02568050
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02568050