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Literatur
Complementi alla teoria della base per la totalità delle curve di una superficie algebrica (Rend. del Circolo matematico di Palermo, 1910).
Ved. alcune Note lincee del 1933, citate nel n. 26.
Ved. per una precisa specificazione i nn. 1, 2, 3 della presente Memoria.
Some groups-theoretic considerations in algebraic geometry (Annals of mathematics, vol. 35, 1934; pp. 702–704).
Si ammette il teorema della risoluzione delle singolarità per varietà qualunque, teorema classico perr=1, 2 e dimostrato di recente (1944) daZariski perr=3. O se non si vuol ammettere questo, ci si limita a considerare leM r che posseggono trasformate birazionali senza punti multipli.
Topologicamente si può dare un significato suggestivo, ma non necessario alla presente esposizione, dell’orientamento di unaV k . Ved. le mie Lezioni sulle Serie, sistemi d’equivalenza e corrispondenze algebriche (a cura diF. Conforto edE. Martinelli, Roma, Edizioni Cremonese, t. I, 1942; p. 12). Ved. pure la mia Memoria I fondamenti della geometria numerativa (Annali di Matematica, t. 294, 1940, pag. 158).
Per le nozioni elementari sui gruppi astratti, che qui occorrono, rinvio al bel libro diGaetano Scorza: Gruppi astratti (a cura diGiuseppe Scorza Dragoni eGuido Zappa, Edizioni Cremonese, 1942).
E’ questa sostanzialmente l’interpretazione contenuta in una Nota diSpampinato, Nozioni introduttive alla teoria delle ipersuperficie algebriche di indicen dell’S R proiettivo complesso (Rend. dell’Accademia delle Scienze di Napoli, vol. XIV4, 1946; vol. XV4, 1947). La disarmonia che l’A. sembra riscontri nella definizione geometrica d’ipersuperficie virtuale, nella realtà non sussiste, perchè la somma di varietà deve sempre intendersi (sia nel campo delle varietà effettive come in quello delle varietà virtuali) quale sinonimo d’insieme delle varietà che la costituiscono; e, soltanto dopo definite a suo mezzo le varietà virtuali, essa diviene un’operazione interna del campo virtuale. Comunque l’accennata interpretazione algebrica acquisterebbe interesse maggiore se si estendesse a varietà di dimensione qualunque in un qualsiasi ambienteM r : il che reputo possibile.
Ved. in particolare la Memoria citata, I fondamenti della geometria numerativa, pag. 159.
Serie d’equivalenza, ecc. p. 13. LeV di un sistema continuo hanno lo stesso
dine sopra ogni modello diM r , nonostante che muti in generale il valore del loro ordine.
Serie d’equivalenza, ecc. p. 4.
Un esame di alcuni tipi di equivalenza algebrica di curve sopra una superficie, sopratutto nei riguardi dei sistemi algebrici considerati come luoghi di sistemi lineari, fu fatto daAlbanese (Annali di Matematica, t. 243, 1915, p. 159).
Per le curve d’una superficie questa definizione «à peu près équivalente» a quella ch’io avevo data per la prima volta nei Math. Annalen, 1906, trovasi, con una lieve differenza inessenziale, inLefschetz, L’analysis situs et la géométrie algébrique, (Paris, Gauthier-Villars, 1924), p. 80. Ved. pure le mie Conferenze di geometria algebrica (raccolte daB. Segre, Roma, Tip. Genio Civile, 1927); p. 361.
Sul teorema fondamentale della base per la totalità delle curve d’una superficie algebrica (Rend. dell’Acc. Nazionale dei Lincei, aprile 1927, p. 481). Ved. anche le mie citate Conferenze di geometria algebrica, p. 363.
Ved. la mia Memoria, La base per le varietà algebriche di dimensione qualunque, ecc. (Mem. della Accademia d’Italia 1934, p. 239), e particolarmente il n. 13. L’identificazione accennata vale a tutto rigore perk=1 ek=r−1.
Ved. la Memoria ora citata: La base per le varietà algebriche di dimensione qualunque, ecc. p. 242.
Scorza, loc. cit. Gruppi astratti (a cura diGiuseppe Scorza Dragoni eGuido Zappa, Edizioni Cremonese, 1942). p. 131.
Ved. per le superficie la mia Memoria sulla base negli Annales de l’Ecole Normale Sup. de Paris, 1908 e l’altra Memoria citata dell’Acc. d’Italia, 1934, per ciò che concerne le varietà.
Scorza, loc. cit. Gruppi astratti (a cura diGiuseppe Scorza Dragoni eGuido Zappa, Edizioni Cremonese, 1942). p. 138; ved. pure:Bianchi, Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzioni e delle equazioni algebriche secondo Galois (Pisa, Spoerri, 1900, p. 73).
Proprietà che si stabilisce con un tratto di penna. Ved. p. es. a pag. 86 delle mie LezioniSerie di equivalenza, ecc.
CosìG è il gruppo dell’uguaglianza,H il sottogruppo zero dell’equivalenza algebrica;G’=G/H il gruppo dell’equivalenza algebrica;L il sottogruppo zero dell’equivalenza lineare;G"=G/L il gruppo dell’equivalenza lineare.
Atti dell’Istituto Veneto, t. 35.
Serie di equivalenza, ecc. p. 190.
Serie di equivalenza, ecc. p. 195.
L’accrescimento di dimensione di |A| non porta però come conseguenza necessaria l’esorbitanza. Ho considerato altra volta questi fenomeni: non mi dilungo nelle citazioni.
Sulla irregolarità superficiale d’una varietà algebrica (Rendiconti del. l’Acc. d’Italia, 1942), p. 553.
Rend. dell’Ist. Lombardo, 1905, p. 859.
Ho accennato ciò alla fine di pag. 251 della mia Memoria sulla base della Accademia d’Italia, 1934; ma il procedimento ha bisogno di essere sviluppato.
Scorza, Gruppi astratti, p. 39.
Scorza, Gruppi astratti, p. 44.
Ved. a pag. 1138 della mia Memoria Sui fondamenti della geometria numerativa e sulla teoria delle caratteristiche (Atti dell’Istituto Veneto, 1916).
Ved. p. es. le mie citate Conferenze di geometria algebrica, pp. 313–317.
Ved. le predette Conferenze di geometria algebrica, p. 375.
Ved. la mia citata Memoria sulla base dell’Accademia d’Italia, 1934, p. 247.
Fatto elementare ben noto. Comunque eccone l’ovvia dimostrazione. Se èm il minimo intero diG, non è possibile trovare inG un numeron (che può supporsi positivo) non multiplo dim, perchè altrimenti, detto θ il m.c.d. dim, n, l’intero θ si potrebbe esprimere come combinazione lineare a coefficienti interi dim, n e apparterrebbe dunque aG, contro l’ipotesi chem sia il minimo intero positivo diG.
Ved. la Memoria sulla base del 1934, pp. 249–250.
Un cangiamento di una o di ambedue le basi intermediarie non fa che assoggettare la forma ad una sostituzione o a due sostituzioni lineari unimodulari sulle variabili λ, μ corrispondenti e non muta l’insieme dei numeri rappresentabili con quella forma.
Rinvio, ove non occorrano specifiche citazioni, alle mie Lezioni Serie di equivalenza, ecc. e all’eccellente Monografia diConforto, Lo stato attuale della teoria dei sistemi di equivalenza e della teoria delle corrispondenze algebriche tra varietà (Atti del Congresso matematico tenuto a Roma nel 1942; pubblicazioni dell’Istituto di Alta Matematica, Roma, 1945).
Si pensi p. es. ad unaM r luogo generico di una ∞1 razionale diS r −1 (che non s’incontrino a due a due) e adr—k sistemi lineari |A∨ coincidenti col sistema degli spazi generatori.
Il segno ≡è suggerito dalla circostanza che perk=r−1 si ricade ovviamente nell’equivalenza lineare.
Cfr. colla pag. 407 delle mie Serie di equivalenza, ecc.
Comptes rendus de l’Ac. des Sciences, 15 janvier 1934. La definizione è completamente indipendente dalla teoria dei sistemi d’equivalenza sulle varietà riducibili, che del resto nelle mie Lezioni, Serie di equivalenza, ecc. è sviluppata dopo.
Ved. la Nota citata del maggio 1934.
Lincei, 5 marzo 1933, p. 492.
Il quale ha successivamente arrecato interessanti contributi sostanziali alla teoria dei sistemi d’equivalenza.
Serie d’equivalenza, ecc., p. 47.
Lo designamo col simbolo stesso dei sistemi gruppali lineari, perchè a un tal sistema si riduce perk=r−1.
La questione, posta a pag. 37 delle mie Lezioni Serie di equivalenza, se la somma di due serie intersezioni complete sopra una superficie qualunque sia sempre un’intersezione completa, questione per la quale ragioni topologico-trascendenti (p. 39) m’inducevano a considerare come probabile una risposta negativa, è stata risolta daMorin (Rend. Acc. Italia, 1941, p. 289), provando che le sole superficie per cui ciò accade sono le superficie razionali e le rigate.
Quest’aspetto della questione sembra sia sfuggito aTodd, quando, al principio della sua Nota, afferma che la stessa generalità del concetto di serie di equivalenza sopra una superficie transferisce l’importanza del concetto dalle serie alle relazioni di equivalenza.
Ved. Serie di equivalenza, p. 84.
Ved. la mia Memoria, Ulteriori sviluppi della teoria delle serie di equivalenza sulle superficie algebriche (Commentationes della Pontificia Accademia delle Scienze, vol. VI, 1942, p. 992).
Ved. la mia Nota, Caratterizzazione topologica delle superficie razionali e delle rigate (Festschrift Rudolf Fueter, 1940, p. 53).
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Severi, F. II punto di vista gruppale nei vari tipi di equivalenza sulle varietà algebriche. Commentarii Mathematici Helvetici 21, 189–224 (1948). https://doi.org/10.1007/BF02568034
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