Sommario
Viene studiato il problema delle vibrazioni trasversali delle piastre anulari soggette a pressioni radiali sui due bordi e viene stabilita una condizione sufficiente di esistenza di autovalori reali del parametro da cui dipendono le autofrequenze. Si collega il problema delle vibrazioni a quello delle pressioni critiche caratterizzando l'andamento delle curve di autofrequenza.
Vengono fatte osservazioni intorno al comportamento dell'energia totale e al lavoro della sollecitazione radiale in corrispondenza ai termini quadratici delle caratteristiche di deformazione.
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Bibliographie
Taluni dei risultati contenuti nel presente lavoro (precisamente quelli di tipo esistenziale) sono alla base di ricerche esposte in alcune altre note che a questa faranno seguito.
Cimmino: “Autovalori e autosoluzioni nelle equazioni differenziali lineari autoaggiunte di ordine superiore”, Mathematische Zeitschrift 32 (1930).
Giunti: “Sviluppi in serie tipo Fourier di un vettore, secondo autovettori di un certo problema, e applicazione all'integrazione dell'equazione lineare a derivate parziali del 4° ordine competente al moto delle sbarre vibranti, dotate d'inerzia rotatoria”, Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo LXIII, 1940–41.
Kamke: “Über die definiten selbstadiungierten Eigenwertaufgaben bei gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen”, Mathematische Zeitschrift 45, 1939, pag. 759; 46, 1940, pag. 251, pag. 231.
M. Picone: “Appunti di Analisi Superiore”, Rondinella, Napoli 1940.
Nelle ipotesi (III′), (IV′) [più avanti espresse] è facile constatare che gli operatori (18), (19) intervenienti nella (16) presentano i requisiti richiesti dalle ricerche di Cimmino relative al caso dell'incastro [eccettuato, però, il cason=1] e da quelle diKamke per l'esistenza di autovalori reali positivi del parametro λ.
Cfr. ad es.,Timoshenko: “Theory of elastic stability” pag. 370;Nadaj; “Elastischen Platten” pag. 253.
È palese che le ipotesi IV non escludono il caso che i carichi sui due bordi siano uguali [p e =p i ]; ciò è evidente pern≠0 mentre pern=0 tale circostanza si giustifica mediante la semplice osservazione che certamente è\(\frac{{r^2 + R^2 }}{{2R^2 }}< 1\).
Come è stato osservato nei due casi d'incastro e appoggio l'esistenza di infiniti autovalori del parametro λ è assicurata dalle ricerche di Cimmino e Kamke [vedi note 2); 4)]. Pur non entrando in merito alla questione analitica dell'esistenza di tali autovalori [assicurata d'altronde dall'intuizione meccanica] nel caso che almeno uno dei due bordi della piastra sia libero, osservo tuttavia che anche nel caso della non esistenza di autovalori reali del parametro λ tutte le considerazioni svolte in questa nota mantengono pienamente la loro validità, salvo modifiche formali nei loro enunciati che risultano bene evidenti e sulle quali non mi soffermo. Aggiungo soltanto che l'assenza di autovalori reali di λ porta di conseguenza la stabilità della configurazione piana di equilibrio della piastra per qualunque λ e le σ ns (λ) risultano sempre positive, in base alla circostanza che in tal casoV n [v; λ] eR n [v; λ] [vedi (51), (52)] si mantengono sempre positive.
S. Timoshenko: “Théorie de l'élasticité” pag. 59.
Vedi nota 5).
Per operatori del quarto ordine del tipo\(\frac{{d^2 }}{{d\varrho ^2 }}\left\{ {\eta (\varrho )\frac{{d^2 }}{{d\varrho ^2 }}} \right\} + \eta (\varrho )\) risultato analogo è già ottenuto:M. Picone, “Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differenziale lineare ordinaria del secondo ordine”, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa; vol. XI; pag. 132.
Che la discontinuità della derivata terza rispetto a ϱ della funzione ϕ n (ϱ, ξ) sia quella espressa da (25) si constata immediatamente osservando che la funzione\(u_n^* (\varrho ) = \int\limits_r^R {\varphi _n (\varrho ,\xi )f(\xi )d\xi } \) soddisfa all'equazione\(T_n = (u_n^* ) + \lambda E_n (u_n^* ) = f(\varrho )\) e alle condizioni al contorno (17), qualunque siaf(ϱ). Analogamente dicasi per la ψ n (ϱ, ξ).
Se ad es. la piastra è incastrata sul bordo interno, appoggiata sull'altro, γ n1 è la classe delle funzioni di γ n nulle su entrambi i bordi e con derivata prima nulla sul bordo interno.
Tale proprietà di ortogonalità delle autosoluzioni del sistema (16), (17)—posto ivi σ=0—risulta dal citato lavoro diGiunti [loco cit. nota 3)] nel caso che le condizioni si specifichino in quelle d'incastro e in generale—se il parametro non interviene nelle condizioni al contorno—da quella diKamke [loc. cit. nota 4)].
G. Krall: “Meccanica tecnica delle vibrazioni” parte II, pag. 30.
Tale proprietà di minimo [e così pure quella espressa da (51)] per il caso dell'incastro è indicata nelle ricerche di Cimmino e più in generale, ma limitatamente al caso che λ non intervenga nelle condizioni al contorno, in quelle di Kamke al variare div(ϱ) nella classe [più ristretta di γ nr ] delle funzioni che oltre alla relazione di ortogonalità (45) [o alla (50) se ci si riferisce alla (51)] verificano le condizioni al contorno. La possibilità che si ha qui di considerare le classi più vaste di funzioni γ n [oγ′ nr ] permette di dimostrare la proposizione I∧, più avanti espressa, nel caso che su almeno uno dei due bordi valgano condizioni di libertà.
È evidente che se la proprietà di minimo espressa da (46) valesse soltanto nella classe delle funzioni verificanti le condizioni al contorno [oltre quella di ortogonalità espressa da (45), come quella messa in luce nei citati lavori di Kamke, la dimostrazione data della proposizione I cadrebbe in difetto nel caso che almeno uno dei due bordi della piastra fosse esente da vincolo (e in genere tutte le volte che il parametro λ interviene nei dati al contorno). Infatti in tal caso la classe delle funzioni in cui vale la proprietà di minimo (46) dipenderebbe da λ in quanto da tale parametro dipenderebbero gli operatori che esprimono le condizioni al contorno e conseguentemente non si potrebbe assumere per la dimostrazione della proposizione I∧\(v(\varrho ) \equiv \bar u_{ns} (\varrho )\) per il fatto che quest'ultima funzione verificando le condizioni al contorno soltanto per λ=λ ns , non apparterrebbe alla stessa classe a cui appartienev(ϱ) se λ≠λ ns .
Vedi ad es.,Krall loco cit. nota 16) “Meccanica tecnica delle vibrazioni” parte II, vol. II, pag. 56.
Non è escluso che λ coincida con l'autovalore λ ns e σ ns (λ) sia nullo.
Beninteso, nel senso che se λ tende ad un autovalore del sistema omogeneo associato a (57), la funzione ω(ϱ, θ; λ) tende ad infinito.
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Lavoro eseguito nell'Istituto Nazionale per le Applicazioni del Calcolo, Roma.
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Grioli, G. Vibrazioni e pressioni critiche delle piastre anulari soggette a pressione radiale. Commentarii Mathematici Helvetici 19, 240–262 (1946). https://doi.org/10.1007/BF02565959
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02565959