This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Literatur
ConR 4, ϱ4 indicheremo rigate razionali normali del 4o ordine; conR n rigate di ordinen; conF n, ϕ4,… superficie di ordinen; conM n varietà a tre dimensioni di ordinen; conC np , γ p p ,… curve di ordinen e generep.
LaR 4 più generale ha ∞1 coniche direttrici irriducibili, e può generarsi con due coniche omografiche in piani non incidenti, dipendenti perciò ciascuna da 9+5=14 parametri; l'omografia tra le due coniche dipende da 3 parametri, ma-ciascunaR 4 ammette ∞2 generazioni così fatte; e 14.2+3−2=29.V. ancheMorin, Rend. Semin. Matem. Padova, anno XI (1940), p. 108. Fra le ∞29 R 4 di unS 5 sono comprese ∞28 con direttrice rettilinea (unica).
Poichè inS 5 le corde di unaR 4 formano anche un sistema di rette del 1o ordine, è pure razionale ogniV 34 diS 5 contenente unaR 4. Ma poichè unaV 34 generale diS 5, come è detto sopra, non contiene alcunaR 4, rimane ancora dubbia la razionalità dellaV 34 generale diS 5 (Morin,. Fra le ∞29 R 4 di unS 5 ve ne sono anche ∞28 spezzate in due quadriche di spaziS 3 (distinti) con una generatrice comune; ma nel presente lavoro non s'incontranoR 4 così spezzate, perchè unaV 34 contenente una coppia di quadriche di questo tipo contiene anche, nei loroS 3, due piani, e quindi ∞2 coppie di quadriche, cioèR 4 riducibili, tutte del medesimo tipo.
Rend. Circolo Matem. Palermo, vol. 1o (1884–87), p. 241.
Possono infatti riferirsi omograficamente in un numero finito di modi due qualunque delle 5 reti di cubiche sghembe in esse contenute.
Si hanno così in tutto ∞5 generazioni, ma solo ∞3 distinteM 3, la corda diR 4 potendo essere suM 3 una qualunque delle sue ∞2 direttrici rettilinee. Fra queste ∞3 M 3 vi sono gli ∞2 coni cubici che proiettanoR 4 dai suoi singoli punti.
Per una rigataR 4 passano ∞5 quadriche, fra le quali ∞4 coni. Nel sistema delle prime, considerato come uno spazioS 5, la varietà μ 64 dei coni è composta di una quadrica doppia Ω e di una quadrica semplice Σ. La prima è costituita dagliS 1-coni quadrici che proiettanoR 4 dalle sue corde; i due sistemi ∞3 di piani su Ω sono dati dai coni passanti per le singoleM 3 aventiR 4 come direttrice, e da quelli le cui rette assi sono corde di una stessa cubica diR 4. La quadrica Σ è a sua volta unS 2-cono quadrico, il cuiS 2-asse è costituito dalle quadriche passanti per laM 3 dei piani delle coniche direttrici diR 4 (seR 4 ha direttrice rettilinea, laM 3 dei piani di questa direttrice e delle singole generatrici). L'intersezione ΩΣ è composta dei coni che proiettanoR 4 dalle sue ∞3 tangenti, incluse le generatrici.
Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni…, Comm. Math. Helv., vol. 14 (1941–1942), p. 202.
V. la nota 24) del mio lavoro cit.
Rappresentabili sul piano mediante le curve di 4o ordine passanti per 8 punti fissi.
Cfr. anche la nota 6) del mio lavoro cit.
Alla curvaC 87 , alla rigata delle sue trisecanti, e a quella delle sue corde appoggiate ak corrispondono rigate di ordini 18, 52, 54; altre due rigate di ordini 34, 18 corrispondono alle superficie diS 2 luoghi delle coniche 6-secanti laC 87 e appoggiate ak, e 5-secanti laC 87 e bisecantik. La somma degli ordini di tutte le rigate dellaM 6 è sempre 180 (nota 24) del mio lavoro cit.).
SuM 12 leF 8 generiche incontrano la conica γ in un punto; le loro proiezioni da γ sono perciò del 7o ordine.
Le due rigateR 4 e ϱ4 hanno direttrice rettilinea quando le tangenti allaC 76 negli estremi della corda corrispondente stanno in un piano. Infatti allora, e solo allora, unaF 4 del sistema rappresentativo dellaM 6 può avere lungo questa intera retta lo stesso piano tangente, e su questa retta 3 punti doppi arbitrari; e la sezione iperpiana corrispondente diM 6 contiene allora 3 generatrici della rigataR 4 o ϱ1.
DueR 4 contenute in una stessaV 34 possono anche avere un minor numero di punti comuni; fra altro, dueR 4 con un punto comune stanno sempre su unaV V 34 (Morin l. c., no 6. In tal caso, da ciascuna di esse si potrà ricavare sullaV V 34 un sistema ∞1 di rigateR 4 come quello qui costruito.
Cfr. ancora il no 4 del mio lavoro cit.
Alle generatrici, coniche, cubiche, sezioni iperpiane diR 4 corrispondono suM 10 rigate di ordini 3, 4, 7, 10.
Queste sezioni sono leC 107 del mio lavoro cit., n. 4, sulle singole quadriche diS 4, sezioni dellaQ; e immagini delle rigateR 18 (l. c.), le cui generatrici sono corde diR 4.
Questi spaziS 8 s'incontrano a due a due in rette, e le superficie del 3o ordine perciò in 3 punti; ma due di questi appartengono aR 4, e sono quindi fondamentali per la rappresentazione.
Proiezioni di unaM 14 diS 9 a curve-sezioni canoniche di genere 8 (sezione della Grassmanniana delle rette diS 5) dallo spazioS 3 tangente ad essa in un punto. I 16 punti doppi sono immagini delle coniche diM 14 passanti per tale punto.
QuesteF 6 devono pertanto avere a comune a due a due i 10 punti corrispondenti a quelli comuni alle coppie di rigate ϱ4. Trattandosi di superficie contenute in spaziS 4 distinti di unS 5, i punti comuni ad esse devono stare nello spazioS 3 intersezione dei dueS 4, e appartenere alle curveC 63 di una stessa quadrica sezioni delle dueF 6. Su questa quadrica diS 3 le dueC 63 appartengono a sistemi opposti, in quanto ogni generatrice è intersezione di piani diQ di sistemi anche opposti, e perciò è quadrisecante di una delleC 63 e bisecante dell'altra. Dalla rappresentazione piana della quadrica si vede allora che le dueC 63 hanno 20 intersezioni: di queste, 10 appartengono alla superficie ϕ10, e a ciascuna di esse corrisponde suV 34 un'intera retta del sistema Γ; le altre 10 corrispondono ai punti comuni alle due ϱ1. CiascunaF 6 contiene 10 rette del sistema Δ, immagini dei punti comuni alla ϱ1 e allaR 4 iniziale.
Alle rette diV 34 non incidenti allaR 4 iniziale corrispondono suQ coniche 5-secanti la superficie ϕ10. Fra le ∞2 rigate ϱ4 costruite, ve ne sono ∞1 con direttrice rettilinea; e a queste corrispondono suQ superficieF 6 contenenti, oltre al fascio di coniche già considerato (in piani diQ), una conica ulteriore, pure5-secante ϕ10 (ma non in un piano diQ), direttrice di questo fascio. Quando ϕ1 si consideri come proiezione di unaF 14 diS 8 da un piano tangente, i piani di queste coniche sono tracce diS 5 passanti per il piano tangente e incontrantiF 14 in altri 5 punti (spazi di gruppi di serie linearig 39 su particolari sezioni iperpiane dellaF 14).
Nello spazioS 4 formato dalle quadriche diS 5 passanti per una ϕ5 laM 6 dei coni è unaM 3 doppia, a sua volta con 10 punti doppi, costituiti dagliS 1-coni che proiettano ϕ5 dalle sue 10 rette (varietà cubica studiata in vecchi lavori diC. Segre, Atti R. Accad. di Torino, vol. 22, 1886–87; Mem. detta Accad. (2), vol. 39, 1888; eG. Castelnuovo, Atti R. Ist. Veneto (6), vol. 6 (1888). Invero le 5 reti diS 1-coni quadrici aventi per basi leM 3 dei piani dei fasci di coniche di ϕ5 costituiscono per lam 6 suddetta altrettanti piani doppi; dal che si trae facilmente che si tratta della varietà luogo della rette incidenti a questi piani, contata due volte. D'altra parte ϕ5 è proiettata da ogni suo puntoP in una ϕ4 diS 4, base di un fascio di quadriche;P è perciò vertice di un fascio di coni quadrici passanti per ϕ5, e che, avendo il vertice su ϕ5 stessa, sono tutti elementi doppi dellaM 6; la quale ne è esaurita.
Questi 13 punti impongono alle quadriche passanti per essi solo 12 condizioni distinte.
Di ordine 9, poichè leF 7 considerate suV 34 sono rappresentate sui piani corrispondenti diS 4 da sistemi di quartiche per 9 punti.
QuesteM 6 risultano rappresentate sugli spaziS 3 corrispondenti mediante le superficie del 4o ordine passanti per laC 98 sezione di ϕ9. Contengono 3 rigate di ordini 22, 106, 52, corrispondenti rispett. alla curvaC 98 , alla rigata delle sue trisecanti, e alla superficie luogo delle sue coniche 7-secanti.
Questa corrispondenza fra unaM 4 diS 4 con 25 punti doppi e una forma cubica generale diS 4 è stata già incontrata da me in una Nota del 1930 (Rend. R. Accad. Lincei (6), vol. 11, p. 329, n. 3, 4).
La corrispondenza fra la superficie sezione dellaM 7.3 Luogo delle corde di ϕ5 contenute inV 34 e laF 14 suddetta fu anch'essa incontrata nella mia Nota cit. del 1930.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Fano, G. Sulle forme cubiche dello spazio a cinque dimensioni contenenti rigate razionali del 4o ordine. Commentarii Mathematici Helvetici 15, 71–80 (1942). https://doi.org/10.1007/BF02565634
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02565634