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Literatur
S. Bernstein, Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues. Acad. Roy. de Belgique, Classe des sciences, Mémoires, II. Série, t. IV. Bruxelles 1912, S. 1–104; insb. S. 88–89.
Einen etwas spezielleren Satz habe ich in meiner Arbeit bewiesen: A Fourier-féle sorok számtani közepeiröl, Math. és Phys. Lapok XXXII, 1925, S. 18–25.
L. Fejér, Über die arithmetischen Mittel erster Ordnung der Fourierreihe, Nachrichten d. Ges. d. Wiss. Göttingen, 1925.
Vgl. z.B. G. F. Meyer, Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale..., Leipzig 1871, S. 182.
Es muss auch die Lebesguesche Summabilitätsbedingung\(\frac{I}{h}\int\limits_0^h {\left| {f(x + 2t) + f(x - 2t) - 2s} \right|dt - o} \) erfüllt sein, denn es ist\(\frac{I}{h}\int\limits_0^h {\left| {\varphi (t)} \right|dt< } \frac{I}{h}\int\limits_0^h {\left| {\varphi (t) - g_\alpha t^\alpha } \right|dt + } \frac{I}{h}\int\limits_0^h {\left| {g_\alpha } \right|t^\alpha dt \to o} \).
Eine andere Verallgemeinerung der Bedingung (L 2) findet sich in meiner Arbeit: Über den Konvergenzexponenten der Fourierschen Reihen gewisser Funktionenklassen. Sitzungsb. d. Bayer. Akad. d. Wiss. Math.-phys. KI. Jahrg. 1922, S. 135–150. Nämlich (S. 147)\(\frac{I}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left[ {f(x + 2t) + f(x - 2t) - 2f(x)} \right]^2 dx \leqq 8\lambda ^2 t^{2\alpha } } \) üt>o; hieraus folgt die Konvergenz der Reihe\(\sum\limits_{v = 1}^\infty {v^\tau (a_v^2 + b_v^2 )^\varrho } \) für gewisse Werte von τ undq.
F. Lukács, Über die Bestimmung des Sprunges einer Funktion aus ihrer Fourierreihe, Journ. für Math. 150 (1920) S. 107–112.
L. Fejér, Über die Bestimmung des Spriunges der Funktion aus ihrer Fourierreihe, Journ. für Math. 142 (1913), S. 165–188. Man vergl. ferner:Csillag, Korlátos ingadozásu függvénysorok Fourier-féle állandóiról (ungarisch), Math. és Phys. Lapok XXVII (1918), S. 301–308;Szidon, A függvény ugrásának meghatározása a függvény Fourier-f⫑e sorából, ibidem, S. 309–311.
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Szász, O. Über die Arithmetischen Mittel Fourierscher Reihen. Acta Math. 48, 353–362 (1926). https://doi.org/10.1007/BF02565340
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02565340