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Über eine Verallgemeinerung der Fourierschen Integralformel

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Acta Mathematica

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Literatur

  1. Dieser Teil unsrer Untersuchungen berührt sich enge mit Untersuchungen vonM. Plancherel, Rend. Pal 30 (1910), S. 289, Math. Ann 74 (1913), S. 573; Math. Ann. 76 (1915), S. 315.

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  2. Etwa die vonA. Pringsheim angegebenen: Math. Ann. 68 (1910), S. 367; Math. Ann. 71 (1911), S. 289.

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  3. Am. Bull. 31 (1925), S. 106, 221. (Zusatz bei der Korrektur: die sehr bedeutungsvollen Untersuchungen des HerrnWiener sind mittlerweile ausführlich erschienen: Math. Zeitschr. 24, S 575).

  4. Integrierbarkeit ist im Folgenden stets im Sinne vonLebesgue zu verstehen; die auftretenden Integrale sind, wo nicht ausdrücklich das Gegenteil gesagt ist, Lebesguesche Integrale. Dabei bedeutet in üblicher Weise.\(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \) so viel wie\(\mathop {\lim }\limits_{p \to - \infty , q \to + \infty } \mathop \smallint \limits_p^q \). Von allen auftretenden Funktionen wird vorausgesetzt, dass sie in jedem endlicher Intervalle integrierbar sind.

  5. Über den heibei zur Verwendung kommenden Integralbegriff vgl. Monatsh. f. Math. u. Phys. 32 (1922), S. 69 ff.

  6. l. c. Über den heibei zur Verwendung kommenden Integralbegriff vgl. Monatsh. f. Math. u. Phys. 32 (1922) S. 304, S. 77–80.

  7. Dieser Satz findet sich, wie mich HerrHilb freundlichst aufmerksam machte, bereits beiH. Weyl, Jahresber. Math. Ver. 20 (1911), S. 134.

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  8. Das folgende Beispiel verdanke ich HerrnW. Wirtinger. Ein andres Beispiel findet man beiA. Pringsheim, Math. Ann. 71 (1911), S. 296.

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  9. Vgl. z.B. H. Lebesgue, Leçons sur les séries trigonométriques, S. 110.

  10. WieA. Pringsheim (Math. Ann 68 (1910) S. 368) mitteilt, wurde er vonH. Weber aufmerksam gemacht, dass für die Funktion\(\frac{{sin x}}{x}\) die Fouriersche Integralformel gilt, während sie keiner der üblichen Bedingungen für die Giltigkeit dieser Formel genügt.

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  11. d. h. einer PunktmengeQ, die eine leere Ableitung,Q (v) (von endlicher oder transfiniter Ordnungv) hat. Das Wort “reduzibel” ist also hier in dem Sinne gebraucht, in dem es vonG. Cantor ursprünglich gebracht wurde.

  12. Dieser einfache Beweis wurde mir von HerrnW. Wirtinger mitgeteilt.

  13. Dieser Satz findet sich im Wesentlichen schon beiA. Pringsheim, Math. Ann. 68 (1910), S. 367–408; 71 (1911), S. 289–298.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  14. Dieser Satz stammt vonA. Pringsheim l.c..

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  15. Genauer gesprochen: da im Falleg(x) cosqx die Funktion Φ(μ), im Falleg(x) sinqx die Funktion Ψ(μ) für μ=q stetig bleibt, muss im ersten Falle nur vom zweiten, im zweiten Falle nur vom ersten Summanden des Integranden cos μx 0 dΦ(μ)+sinμx 0dΨ(μ) der Cauchysche Hauptwert gebildet werden.

  16. A. Pringsheim, Math. Ann. 68 (1910), S. 398, 399.

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  17. Math. Ann. 76 (1915), S. 315–326.

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  1. Wien

    Hans Hahn

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  1. Hans Hahn
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Hahn, H. Über eine Verallgemeinerung der Fourierschen Integralformel. Acta Math. 49, 301–353 (1927). https://doi.org/10.1007/BF02564116

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