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Literatur
«Principe de Huyghens et prolongement analytique»,Bull. Soc. Math. France, tome LII, 1924, page 141–178. Ce travail sera, dans la suite, désigné par la lettreP.
Conférence à l'occasion du Cinquantenaire de la Société Mathématique de France en 1924.Bull. Soc. Math. Fr., t. LII, p. 610–640. Ce travail sera désigné par la lettreC.
Voir notre précédent Mémoire desActa, tome XXXI, 1908 page 333 à 380 (travail que nous désignerons parAM) particulièrement no 15, page 352, et nosLectures on Cauchy's problem in partial differential equations, New Haven-London, 1923 (travail qui sera désigné parY), no 22, page 39. DansAM, le lecteur est prié d'effectuer les corrections mentionnées au tome 45, fascicule 1–2 desActa. D'autre part, la notation deY et celle du présent travail diffèrent de celle deAM par le changement deV en −V.
Y,40; dérivéeconormale de M. d'Adhémar, cf.AM, p. 335.
v est solution de l'équation donnée par rapport aux coordonnées du premier point mentionné en indice, et de l'équation adjointe par rapport aux coordonnées du second point.
AM,35;Y,145. Deux termes de la formule générale ont pu être réunis en un seul (terme (e)) pour la valeur particulièrem=4 que nous considérons, alors que, pourm>4, ils seraient distincts, le premier comportant une différentiation d'ordrem/2−2.
Y, no 39.
On observera que, dans ces formules (2′), les signes (voir ceux qui figurent devant (d), (f)) sontopposés à ceux qui figuraient au passage correspondant deY (no 147, formule (30)): à cet endroit, en effet, les intégrales soumises à la différentiation étaient supposées relatives aux domaines définis par les inégalités o≤Γ≤γ, c'est à dire à l'extérieur du conoïde modifié.
Les équations\(\frac{{\partial z'}}{{\partial x}} = o, \frac{{\partial z'}}{{\partial y}} = o\) qui font connaître le point de contact en question ont un jacobien différent de zéro si l'origine des coordonnées n'est pas, pour la position initiale de Σ′, un point parabolique, ce qu'on peut toujours supposer moyennant une transformation ponctuelle effectuée sur toute la figure (et consistant par exemple à ajouter, tant àz qu'àz′ un polynôme du second degré enx, y).
Dans le Mémoire précédent (P), ce que nous appelonsT 2 était désigné parT 2−T 1.
Contrairement aux notations deP, il est entendu queS 1 etS 2 sont limitées à l'intérieur du conoïde de sommet o. Il en est, par conséquent, de même pour\(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{S} _1 \) et\(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\sigma } \). Ajoutons quel'indice 1accompagnant les lettres S, σ, λsera fréquemment omis dans ce qui va suivre, aucune confusion n'étant à craindre de ce chef: les intégrations, dans la formule finale (14) (no 19), et les intégrations intérieures dans les formules définitivement obtenues par chacun des calculs des nos 10–18, sont relatives à des domaines situés auS 1, sans qu'il soit utile de le spécifier chaque fois.
Pour alléger la notation, nous désignerons parγ 1,γ 2 et (au no 20) γ, les paramètres infinitésimaux qui devraient, logiquement, s'appelerγ 01,γ 12,γ 02.
Voir la note de la page précédente.
C, parties I et IV.
Lettre à Fresnel, insérée auxAnnales de Chimie et de Physique, t. XXII, p. 270, mars 1823;Oeuvres de Fresnel, 3e section, tome II, p. 209.
Voir nosLeçons sur la propagation des ondes, Chap. II.
Ibid. Voir nosLeçons sur la propagation des ondes, § 4.
VoirC, IV.
Théorie Mathématique de la Lumière, Chap. III, p. 98. On sait (loc. cit.)Théorie Mathématique de la Lumière, Chap. III, que la compensation dont il s'agit n'a lieu que si l'on tient compte simultanément de tous les termes de la formule, c'est à dire à la fois des déplacement initiaux et des vitesses initiales.
Les volumes balayés par\(\overline{\overline \Gamma } _{12} \) et par\(\overline{\overline {\rm T}} _{12} \) ne seraient plus identiques entre eux dans la disposition de la figure 2 bis.
Ce terme ne nécessite pas de figure spéciale, les intégrations auxquelles il conduit se traitant soit comme celles qu'introduit (ba), soit comme celles qu'introduit (bd).
Les constructions relatives au calcul de (cd) ne diffèrent de celles qui se rapportent au calcul de (bd) que par la présence, dans le résultat final, d'un terme intégral étendu à la trace modifiée\(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\sigma } \), et différentié par rapport àγ 2. La ligne représentative de\(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\sigma } \), a été tracée d'un trait spécial (trait mixte forcé) sur les figures (cd)2, afin de rappeler cette circonstance.
Voir le calcul de (ca).
D'après la formation et les propriétés (Y,58) de la quantité Γ, ce rapport n'est autre que le rapport (négatif) entre les valeurs de la variables (loc. cit.) qui, comptées à partir du point 1, correspondent respectivement aux points 2 et o. Cette remarque n'est valable que surΓ 2 et non surG.
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Hadamard, J. Le principe de huyghens dans le cas de quatre variables indépendantes. Acta Math. 49, 203–244 (1927). https://doi.org/10.1007/BF02564113
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02564113