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References
Voir L. Ahlfors:Untersuchungen zur Theorie der konformen Abbildung und der ganzen Funktionen (Acta Soc. Sc. Fennicae, Nova Series A t. 1 no 9, 1930). Voir aussi du méme auteur le lemme 2 de:Sur une généralisation du théorème de Picard (C. R. Ac. des Sc., 18 janv. 1932).
En reprenant le raisonnement de M. Ahlfors, on peut arriver à remplacer θ(t) par une quantité qui peut être plus petite, suivant les cas de figure. Mais on perd en simplicité ce que l'on gagne en précision.
Autrement dit,aucune fonction entière d'ordre fini ϱ supérieur à 1/2 n'admet de domaine de détermination infinie où elle est d'ordre inférieur à 1/2. En effet, d'après l'inégalité (4) qui ne peut être vérifiée, le domaine associé d'un tel domaine contient nécessairement une suite de circonférences de centre o s'éloignant indéfiniment; il n'y aurait donc dans ce cas qu'un seul domaine de détermination infinie, d'où la contradiction, puisque l'ordre de la fonction y serait nécessairement ϱ.
r 1 est alors supérieur àr 1−2ε, car logm 1=1/2r ϱ(1−ε), et logM(r 1,f) est inférieur àr ϱ(1+ε)1 .
G. Valiron.—Sur quelques propriétés des fonctions entières (C. R. de l'Ac. des Sc., t. 185, p. 1439).
T. Shimizu.—On the paths of determination and indetermination of Integral Functions (Proc. of the Phys. Math. Soc. of Japan, 3e Ser., Vol. 12 no 9, Oct. 1930). Voir par ex. p. 181–184.
Bieberbach:Lehrbuch der Funktionentheorie, II, 2e éd., p. 287–288.
Autrement dit: la fonctionf(z) est d'ordre ϱ et à croissance régulière dans chaque domaine Δi.
H. Milloux.—Quelques propriétés des fonctions entières d'ordre infini; distribution de leurs valeurs (Ann. de l'Ec. Norm. Sup. t. XLIX, 1932). Voir p. 315 et 318, th. I et III.
C'est une restriction qui n'a rien d'essentiel.
H. Milloux:Quelques propriétés des fonctions entières d'ordre infini; distribution de leurs valeurs (loc. cit.). Ann. de l'Ec. Norm. Sup., t. XLIX, 1932) Voir p. 330., th. VI.
On peut dire aussi quen(r) est le nombre des domaines où la fonction reste bornée. Sous cette forme, le théorème VIII est susceptible d'extensions analogues au théorème V et autres extensions du théorème IV relatif an cas de l'ordre fini. C'est ainsi que l'on peut affirmer quele nombre des domaines s'étendant à l'infini où la fonction reste d'ordre fini est limité, à l'intérieur de la circonférence |z|=r, par le deuxième membre de l'inégalité (7).
Cette remarque m'a été suggérée par une lettre de M. Valiron.
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Milloux, H. Sur les domaines de détermination infinie des fonctions entières. Acta Math. 61, 105–134 (1933). https://doi.org/10.1007/BF02547788
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02547788