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References
[ξ] soll in bekannter Weise die grösste in ξ enthaltene ganze Zahl vorstellen, und die Summe ist soweit zu führen, bis die Glieder von selbst gleich Null werden.
Werke, Bd. 2, S. 56
Math. Ann., Bd., 87, S. 39 ff.; schon vorher hatteVoronoï (Journ. f. Math., Bd. 126, S. 241 ff.) bewiesen, dass das Restglied nicht von höherer Ordnung als x1/3 logx ist.
Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Bd. 2, S. 580/I ff.Gegenbauer, der jene Formel bereits 1885 für ein allgemeinesk aufgestellt hat (Denkschriften d. Wiener Akad. d. Wiss., Math.-naturw. Cl., Bd. 49 I, S. 46), benutzt beim Beweis in einer auch jetzt vielfach in ähnlichen Fällen üblichen Weise den Eindeutigkeitssatz der Dirichletschen Reihen.
Setzt man in (5) die Potenzx k anstelle vonx ein, so kann man die ganz gewöhnliche Umkehrungsformel anwenden, und man erhält dann aus dem Ergebnis, wennx k wieder durchx ersetzt wird, die Gleichung (6).
Geometrisch kann man das auch so ausdrücken, dass auf der Hyperbel ξη=a (a ganz) geradetk(a) Punkte liegen, deren Koordinate η ganzzahlig und deren Koordinate ξ eine durch keinekte Potenz teilbare Zahl ist.
Vgl.Landau, a.a.O., S. 594, wo zugleich noch eine schärfere Abschätzung gegeben wird.
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Hölder, O. Über einen asymptotischen Ausdruck. Acta Math. 59, 89–97 (1932). https://doi.org/10.1007/BF02546500
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02546500