The generalization of the theorem of Jacobi

Abstract

The present study deals with the inner mechanism of the method of least squares, and thus constitutes an extension of previous work, [2] and [3].

It covers an investigation as to whether there are corresponding relationships between the results of partial adjustments on the one hand, and a total adjustment of the same data on the other, as expressed by the theorem ofJacobi. It is shown that such relationships do, in fact, exist: the results of a total adjustment are identical (or proportional) to the weighted means based on the corresponding values found by the partial adjustments, with the determinants of the latter’s systems of normal equations as weights. This applies to the quantities determined by the adjustment and their accuracy, as well as to their internal correlation and the sum of squares of the residuals.

Résumé

Le présent article traite du mécanisme interne de la méthode des moindres carrés et constitue donc une suite aux travaux précédents [2] et [3].

Les recherches portèrent cette fois-ci sur l’existence de relations correspondantes entre les résultats des compensations partielles (compensations ne comprenant qu’une partie des observations), d’une part, et une compensation totale de la même série d’observations, d’autre part, comme elle est exprimée par le théorème deJacobi. Il est démontré ici que de telles relations existent effectivement. Le résultat d’une compensation totale est identique (ou proportionnel) aux moyennes arithmétiques générales fondées sur des valeurs correspondantes résultant des compensations partielles et des déterminants des équations normales de ces dernières comme poids. Ceci est valable aussi bien pour la grandeur des quantités qui sont déterminées lors de la compensation que pour la précision et la corrélation interne de ces mêmes quantités, ainsi que pour la somme des corrections quadratiques.

Zusammenfassung

Der vorliegende Aufsatz beschäftigt sich mit dem Mechanismus der Methode der kleinsten Quadrate and stellt somit eine Weiterführung der früheren Arbeiten [2] und [3] dar.

Diesmal Wird untersucht, ob entsprechende Zusammenhänge, welche durch den Satz vonJacobi zum Ausdruck kommen, zwischen den Ergebnissen von Teilausgleichungen einerseits und der Gesamtausgleichung desselben Beobachtungsmateriales andererseits, bestehen. Es wird nachgewiesen, dass dies tatsächlich der Fall ist: Die Ergebnisse der Gesamtausgleichung sind identisch mit (oder proportional zu) den gewogenen Mitteln der korrespondierenden Werte der Teilausgleichungen, wobei als Gewichte die Determinanten der Normalgleichunssysteme der letzteren auftreten. Dies trifft sowohl für die Werte der durch die Ausgleichung zu bestimmenden Grössen, für die Genauigkeit und der internen Korrelation derselben, als auch für die Fehlerquadratsumme zu.