Communication on Laplace’s equation

Zusammenfassung

Der Verfasser hat in No. 19 desBulletin Géodésique, SS 61 und 62 eine Erklärung veröffentlicht, worin er die Ansicht von Prof.Vening Meinesz, die dieser in seinem Artikel: New Formulas for systems of deflections of the plumb-line and Laplaces theorem, in No. 15 desB. G. 1950, S. 33ff ausspricht, dass die Komponenten ξ₁ und η₁ der Lotabweichung der Stationnicht in dieLaplace-gleichung eintreten, als richtig anerkannt hat.

Nach dem sorgfältigen Studium des Problems widerruft er diese Erklärung; vielmehr sind die Formeln (4) und (5) inHelmert, Höhere Geodäsie, Leipzig 1880, S. 517 korrekt. Bei der Ableitung findet er noch einen kleinen Term, denHelmert nicht gibt, auf den er aber hingewiesen hat.

MitHelmert leitet der Verfasser die Formel unter der Voraussetzung ab, dass das geodätische Azimut zunächst nach dem an der physischen Erdoberfläche liegenden PunktP ₂ beobachtet werde. Nach Formeln der sphärischen Trigonometrie findet man nach einfachen Entwicklungen (sieheBaeschlin, Geodäsie, Zürich 1948, S. 288 und 289) die Formel I, wo α ^g₁₂ geodätische Azimut vonP ₁ nachP ₂, α ^α₁₂ astronomische Azimut vonP ₁ nachP ₂.

• 1. um den Winkel zwischen dem geodätischen VertikalschnittP ₁P₂ und dem geodätischen VertikalschnittP ₁P′₂.

• 2. um den Winkel zwischen dem geodätischen VertikalschnittP ₁P′₂ und der Tangante an die geodätische LinieP′ ₁P′₂ inP′ ₁.

Nach bekannten Formeln [Baeschlin, Geodäsie (16.11) und (23.8)] findet man die Formeln (a) und (b) und daraus mit$a\frac{H}{{12}} = a_{12}^g$ Formel II. Unter Vernachlässigung von (b) finden wir die Formel III, die zeigt, dass die rechte Seite der Laplacegleichung von Null verschieden ist, wenn θ₁ ≠ 0 und ζ ^a₁₂ ≠ 90°. Der 2. Term auf der rechten Seite von III tritt beiHelmert nicht auf; er ist im allgemeinen klein.

Resumen

El autor ha publicado en el n^o 19 del «Bulletin Géodésique», pág. 61 y 62, una nota en la que se mostraba conforme con el artículo deM. Vening Meinesz: «New formulas for systems of deflections of the plumb-line and Laplace Theorem», B. G. n^o 15, 1950, págs. 33 y siguientes, en el que se dice que las componentes ξ₁ y η₁ de la desviación de la vertical no entran en la ecuación de Laplace.

Despues de un estudio a fondo del problema, constata el autor que las fórmulas (4) y (5) en la «Höhere Geodäsie, vol. I, deHelmert, pag.517, Leipzig, 1880, son correctas, encontrando un término, despreciado porHelmert pero anunciado por él.

ComoHelmert, el autor comienza por deducir la fórmula en la hipótesis que el azimut geodésico sea observado hacia el puntoP ₂ situado en la superficie física de la Tierra. Se encuentra, aplicando fórmulas de la trigonometría esférica y por simples transformaciones (verBaeschlin, Geodäsie, Zurich, 1948, págs. 288 y 289), la fórmula I, en donde α ^g₁₂ azimut geodésicoP ₁P₂. α₁₂ azimut astronómicoP ₁P₂.

Este resultado exige correcciones:

• 1o El ángulo entre la sección normal geodésica deP ₁ haciaP ₂ y la sección normal geodésica deP ₁ haciaP′₂,

• 2o El ángulo entre la sección normal geodésica deP′₁ haciaP′₂ y la tangente a la linea geodésicaP′₁ P′₂ enP′₁.

Se encuentra por las fórmulas bien conocidas (verTardi, «Traité de Géodésie», 1934, fórmula 136, pág. 255 y la fórmula (138), pág. 257), las fórmulas (a) y (b). Poniendo$a\frac{H}{{12}} = a_{12}^g$, encontramos la fórmula II. Despreciando (b) se halla la fórmula III que muestra que el segundo término de la ecuación deLaplace difiere de cero cuando θ₁ ≠ 0 und ζ ^a₁₂ ≠ 90°. El término −0″.1087H ^km₂ cos² ϕ₁ sen 2α ^g₁₂ no es dado porHelmert; es en general, muy pequeño.

Résumé

L’auteur a publié dans leN ^o 19 du Bulletin Géodésique, p. 61 et 62 une note où il se disait d’accord avec l’article deM. Vening Meinesz: New formulas for systems of deflections of the plumb-line and Laplaces Theorem,B. G. n ^o 15, 1950, p. 33 et suivantes, disant que les composantes ξ₁ et η₁ de la déviation de la verticale n’entrent pas dans l’équation deLaplace.

Après une étude approfondie du problème, l’auteur constate que les formules (4) et (5) dansHelmert,Höhere Geodäsie, volume I, Leipzig, 1880, p. 517 sont correctes; il trouve un terme, négligé parHelmert, mais annoncé par lui.

CommeHelmert l’auteur commence à déduire la formule dans l’hypothèse que l’azimut géodésique soit observé vers le pointP ₂ situé à la surface physique de la terre. On trouve en appliqunt des formules de la trigonométrie sphérique et par simples transformations (voirBaeschlin,Geodäsie, Zurich, 1948, S. 288 und 289) la formule I où α ^g₁₂ géodésiqueP ₁ P ₂; α ^g₁₂ = l’azimut astronomiqueP ₁ P ₂. Ce résultat appelle des corrections:

• 1° l’angle entre la section normale géodésique deP ₁ versP ₂ et la section normale géodásique deP ₁ versP′₂.

• 2° l’angle entre la section normale géodésique deP′₁ versP′₂ et la tangente à la ligne géodésiqueP′ ₁ P′ ₂ enP′₁

On trouve par les formules bien connues (voirTardi,Traité de Géodésie, 1934, formule (136), p. 255 et formule (138), p. 257), les formules (a) et (b). En posant$a\frac{H}{{12}} = a_{12}^g$ nous trouvons la formule II. En négligeant (b) on trouve la formule III qui montre que le deuxième terme de l’équation deLaplace diffère de zéro quand θ, ∈0, θ≠0, ζ ^a₁₂ ≠90°. Le terme −0″1087H ^km₂ cos² ϕ₁ sin 2α ^g₁₂ n’est pas donné parHelmert; il est en général très petit.

Sommario

Nel numero 19 del Bulletin Géodésique l’Autore ha pubblicato, alle pag. 61 e 62, una Nota nella quale egli si dichiarava d’accordo con l’articolo del prof.Vening Meinesz:New Formulas for Systems of Deflections of the Plumb-Line and Laplaces’ Theorem pubblicato sul n^o 15, pagine 33 e segg. del Bulletin Géodésique, nel quale si affermava che le componenti ξ₁ ed η₁ della deviazione della verticale non intervengono nell’equazione diLaplace.

Dopo uno studio approfondito del problema, l’Autore rileva che le formule (4) e (5) diHelmert nellaHöhere Geodäsie, vol. I, Leipzig, 1880, pag. 517, sono corrette; egli trova un termine, trascurato daHelmert, ma da lui però previsto.

Come giàHelmert, l’Autore comincia col dedurre le formule nell’ ipotesi che l’azimut geodetico sia osservato verso il puntoP ₂ situato sulla superficie fisica della Terra. Applicando le formule della trigonometria sferica, e con semplici trasformazioni (vediBaeschlin,Geodäsie, Zürich, 1948, pagg. 288 e 289) si trova la formula 1 dove α ^g₁₂ geodeticoP ₁P₂; α ^a₁₂ astronomicoP ₁P₂.

Questo risultato implica delle correzioni:

• 1° l’angolo fra la sezione normale geodetica diP ₁ versoP ₂, e la sezione normale geodetica diP ₁ versoP′₂,

• 2° l’angolo fra la sezione normale geodetica diP′₁ versoP′₂ e la tangente alla geodeticaP′₁ P′₂ inP′₁.

Da formule ben note (vediP. Tardi, Traité de Géodésie, 1934, formula (136) pag. 255 e formula (138) pag. 257) si trovano le formule (a) e (b). Ponendo α ^H₁₂ = α ^g₁₂ si trova la formula II. Trascurando (b) si trova la formula III che mostra come il secondo membro dell’equazione diLaplace differisca da zero quando θ≠0, ζ ^a₁₂ ≠90°. Il termine −0″1087H ^km₂ cos² ϕ₁ sin 2α ^g₁₂ non è stato dato daHelmert; esso è in generale assai piccolo.