Il Nuovo Cimento C

, Volume 6, Issue 1, pp 72–82 | Cite as

On the linearized shallow-water waves over a sloping bottom

  • E. O. Okeke
Article
  • 21 Downloads

Summary

This paper presents an investigation concerning long waves on sloping beaches. On the other hand, an attempt is made to broaden the class of the realistic forms of bottom topography,h(x), with which an exact solution of the related eigenvalue problem is possible. Under the linearizing assumption, the investigation confirms thath −1/2 is a factor associated with the bottom topography which is involved in wave breaking along the shoreline (Green's law). Further, the bottom topography in the neighbourhood of the shoreline is approximated byh(x)=K 0 x j. There-from it is deduced that all positive real values ofj are associated with the possible structure of the bottom profile. Consequently, each can be employed in the construction of possible wave forms. Finally, an attempt is made to obtain a closed form of solution associated with the governing linear differential equation whenh(x) is arbitrary. The comparison of the results with those obtained by using the refraction diagram suggests close agreement over the beach considered.

PACS. 92.10

Physics of the ocean 

Riassunto

In questo lavoro si presenta una ricerca che riguarda onde lunghe su spiagge in pendenza. Inoltre si fa un tentativo di ampliare la classe delle forme realistiche della topografia del fondo,h(x), con cui è possibile una soluzione esatta del problema correlato dell'autovalore. Nell'ipotesi di linearizzazione la ricerca conferma cheh −1/2 è un fattore associato con la topografia del fondo che è implicata nella rottura dell'onda lungo la linea di costa (legge di Green). Inoltre, la topografia del fondo in prossimità della linea di costa si approssima conh(x)=K 0 x j. Da questo si deduce che tutti i valori reali positivi dij sono associati con la struttura possibile del profilo del fondo. Di conseguenza, ognuno di questi può essere utilizzato nella costruzione di possibili forme d'onda. Infine, si tenta di ottenere una forma chiusa della soluzione associata con l'equazione principale lineare differenziale quandoh(x) è arbitrario. Il confronto dei risultati con quelli ottenuti usando diagrammi di rifrazione suggerisce un accordo stretto per tutta la spiaggia considerata.

Резюме

В этой работе исследуются длинные волны на наклонных берегах. С другой стороны делается попытка расширить класс реалистических форм топографии дна,h(x), для которых возможно точное решение проблемы собственных значений. Предполагая линеаризацию, исследование подтверждает, чтоh −1/2 представляет фактор, связанный с топографией дна, который входит в разрушение волн вдоль береговой линии. Топографиа дна в окрестности береговой линии аппроксимируется выражениемh(x)=K 0 x j. Отсюда следует, что все положительные значенияj связаны с возможной структурой профиля дна. Следовательно, каждое значение может быть использовано при конструровании возможных волновых форм. В заключение, предпринимается попытка получить замкнутую форму решения, связанного с определяющим дифференциальным уравнением, когдаh(x) является произвольной функцией. Сравнение результатов с результатами, полученными, используя диаграмму рефракции, свидетельствует о согласии вдоль всего рассмотренного берега.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    M. C. Shen:Proceedings Seminars, Madison 1971, p. 123.Google Scholar
  2. (2).
    A. Ib. Svendsen andJ. Burhr Hansens:J. Fluid. Mech.,87, 433 (1978).MATHCrossRefADSGoogle Scholar
  3. (3).
    R. S. Johnson:J. Fluid Mech.,97, 701 (1980).MATHMathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  4. (4).
    M. Strassme andD. H. Peregrine:J. Fluid Mech.,97, 783 (1980).MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  5. (5).
    J. Stoker:Water Waves (New York, N. Y., 1957), p. 22.Google Scholar
  6. (6).
    E. C. Titchmarsh:Eigenfunction Expansion, Part I (Oxford, 1961), p. 50.Google Scholar
  7. (7).
    S. Spain andM. G. Smith:Functions of Mathematical Physics (New York, N. Y., 1970), p. 76.Google Scholar
  8. (8).
    G. F. Roach:Green's Functions (New York, N. Y., 1971), p. 187.Google Scholar
  9. (9).
    L. M. Jones:An Introduction to the Mathematical Methods of Physics (New York, N. Y., 1943), p. 270.Google Scholar
  10. (10).
    J. Darbyshire andE. O. Okeke:Geophys. J. R. Astron. Soc.,17, 63 (1969).Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1983

Authors and Affiliations

  • E. O. Okeke
    • 1
  1. 1.Department of MathematicsUniversity of BeninBenin CityNigeria

Personalised recommendations