The double cascade as a necessary mechanism for the instability of steady equivalent-barotropic flows

Summary

In this paper we show that for a large class of steady solutions of the two-dimensional Euler equation and of the equation of conservation of potential vorticity for equivalent-barotropic flows, instabilities can grow only if their energy concentrates at length scales larger than that of the steady state. This possible growth of energy at large scales is accompanied by a corresponding growth of enstrophy at small scales. Such a distribution of energy and enstrophy, which is well known in the different context of two-dimensional turbulence, is therefore found to constitute a necessary mechanism for instability.

Riassunto

In questo lavoro mostriamo che, per una vasta classe di soluzioni stazionarie dell'equazione di Eulero bidimensionale e dell'equazione della conservazione della vorticità potenziale per flussi quasi geostrofici, le instabilità possono crescere solo se la loro energia si concentra a scale con lunghezza caratteristica piú grande di quella della soluzione stazionaria. Questa possibile crescita di energia a grande scale è accompagnata da una corrispondente crescita di enstrofia a piccola scala. Tale distribuzione di energia ed entrofia, ben nota in turbolenza bidimensionale, si dimostra essere un meccanismo necessario per l'instabilità.

Резюме

В этой работе мы показываем, что для большого класса стационарных решений двумерного уравнения Эйлера и уравнения сохранения потенциальной завихренности для эквивалентных баротропных потоков неустойчивости могут возрастатъ толъко в том случае, если их энергия концентрируется на масштабах с длинами, много большими, чем характерные длины стационарного состояния. Это возможное увеличение энергии на больших масштабах сопровождается соответствующим ростом «энстрофии» на малых масштабах. Следовательно, указанное распределение энергии и «энстрофии», хорошо известное в двумерной турбулентости, представляет необходимый механизм для неустойчивости.