A comparison between the cnoidal wave and an approximate periodic solution to the Korteweg-de Vries equation

Summary

The motion of small-but finite-amplitude waves in shallow water is often modeled by the well-known Korteweg-de Vries (KdV) equation. Here we consider a case in which no solitons are present and compare the exact periodic travelling-wave solutions of the KdV equation (the cnoidal wave) to an approximate periodic solution of this equation previously obtained by the authors. We find that the approximate wave form is graphically indistinguishable from the cnoidal wave for a wide range of wave amplitudes. Furthermore, by extending the amplitude range up to the breaking wave limit we find that the approximate wave form is still a close representation of the cnoidal wave. This suggests that the approximate solution, which is just a simple formula, might be used for many practical calculations in place of the more difficult to compute cnoidal wave.

Riassunto

L'evoluzione in acqua bassa di onde di ampiezza piccola ma finita è spesso descritta dalla classica equazione di Korteweg-de Vries (KdV). È qui considerato un caso senza solitoni e l'esatta soluzione stazionaria periodica dell'equazione di KdV (nota come onda cnoidale) è confrontata con una soluzione periodica approssimata precedentemente ottenuta dagli autori. I risultati del confronto mostrano che la soluzione approssimata è graficamente indistinguibile dall'onda cnoidale in un ampio intervallo di ampiezze d'onda. Aumentando l'ampiezza d'onda fino al limite della rottura dell'onda stessa si mostra che la soluzione approssimata è ancora una buona rappresentazione dell'onda cnoidale. Questi risultati suggeriscono che la soluzione approssimata, espressa da una formula molto semplice, possa essere usata in molti calcoli applicativi al posto della piú complicata onda cnoidale.

Резюме

Движение волн с малой, но конечной амплитудой на мелкой воде часто моделируется с помощью хорошо известного уравнения Кортевега-де Вриса. В этой работе мы рассматриваем случай отсутствия солитонов и сравниваем точное периодическое распространяющее волновое решение уравнения Кортевега-де Вриса («кноидальная» волна) с приближенным периодическим решением этого уравнения, ранее полученным авторами. Мы находим, что приближенная волновая форма графически наразличима от «кноидальной» волны в широкой области амплитуд. Кроме того, распространяя область амплитуд вплоть до нарушення волнового предела, мы получаем, что приближенная волновая форма еще хорошо аппроксимирует «кноидальную» волну. Этот результат позволяет предположить, что приближенное решение, которое описывается простой формулой, мож⪟т быть использовано в большом числе практических вычислений вместо более сложного выражения.