Il Nuovo Cimento C

, Volume 5, Issue 6, pp 633–648

# Theoretical and numerical methods for the nonlinear Fourier analysis of shallow-water wave data

• A. R. Osborne
• A. Provenzale
• L. Bergamasco
Article

## Summary

A rigorous approach to the Fourier analysis of nonlinear shallow-water wave data is considered. Specifically, those waves data which evolve from some localized initial source or disturbance are of interest and their evolution is thus considered in the context of a Cauchy problem. We discuss mathematical and numerical procedures based upon the scattering (or spectral) transform (ST) and describe how these methods may be used to analyse laboratory data. The importance of the techniques presented herein lies in the fact that the ST generates the exact analytical solution to the Korteweg-deVries equation, an often used model equation for nonlinear shallow-water waves. Furthermore, the ST is mathematically equivalent to a kind of nonlinear Fourier analysis and has the important feature that the theory is one order of approximation higher than linear, dispersive wave theory. As with Fourier methods the ST may be separated into direct and inverse problems. The direct problem (DST) generates a spectrum in wave number (or frequency) space and the inverse problem (IST) allows for the reconstruction, synthesis and time evolution of the wave motion. An important consequence of the method is that solitons are explicitly accounted for as discrete eigenwavenumbers of the DST spectrum. We also describe how the conservation laws for the KdV equation may be used to supplement a ST analysis and discuss procedures for computing the conserved quantities of the spectral components.

General theory

## Riassunto

Si presenta un approccio rigoroso all'analisi di Fourier di onde non lineari in acqua bassa, particolarmente quelle originatesi in modo localizzato e la cui evoluzione ricade nel problema di Cauchy. Si discutono procedimenti matematici e numerici basati sulla trasformata di scattering (ST) e se ne discute l'applicazione a dati di laboratorio. L'importanza delle tecniche qui presentate sta nel fatto che la ST genera l'esatta soluzione analitica all'equazione di Korteweg-deVries che è spesso usata come tipica per le onde non lineari in acqua bassa. La ST è matematicamente equivalente ad un tipo di analisi di Fourier non lineare, risultando di un ordine di approssimazione maggiore della teoria lineare dispersiva. Come per i metodi di Fourier la ST può essere separata in problemi diretti ed inversi: il problema diretto (DST) genera uno spettro nello spazio delle frequenze, mentre il problema inverso (IST) permette la ricostruzione, sintesi ed evoluzione temporale del moto ondoso. Un'importante conseguenza di questo metodo è che i solitoni sono trovati esplicitamente come autovalori discreti dei numeri d'onda dello spettro di DST. Si discute infine come le leggi di conservazione per l'equazione di KdV possano essere usate per completare un'analisi di tipo ST, e le procedure per calcolare le quantità conservate delle componenti spettrali.

## Резюме

Рассматривается строгий подход к Фурье-анализу нелинейных мелких водяных волн. В частности, особый интерес представляют волны, которые распространяются из первоначально локализованного источника или возмущения. Проблема зволюции этих волн рассматривается в контексте с проблемой Коши. Мы обсуждаем математические и численные процедуры, основанные на преобразовании рассеяния (или спектральном преобразовании). Мы описываем, как эти методы могут быть использованы для анализа лабораторных данных. Значимость предложенной здесь техники заключается в том, что преобразование рассерния приводит к точному аналитическому решению уравнения Кортевега-де Вриса, которое часто используется как модельное уравнение для нелинейных мелких водяных волн. Кроме того, преобразование рассеяния математически эквивалентно нелинейному Фурье-анализу и имеет важную особенность, что эта теория является более высоким приближением, чем линейная дисперсионная волновая теория. Как и в случае Фурьеметодов, преобразование рассеяния может быть разделено на прямую и обратную проблемы. Прямая проблема дает спектр в пространстве волновых чисел (или частот), а обратная проблема допускает реконструкцию, синтез и временную эволюцию волнового движения. Важное следствие предложенного метода состоит в том, что солитоны существуют с дискретными собственными волновмыми числами, для спектра прямой проблемы преобразования рассеяния. Мы также описываем, как законы сохранения для уравнения Кортевега-де Вриса могут быть использованы для дополнения анализа преобразования рассеяния. Обсуждается вычисление сохраняющихся величин для спектральных компонент.

## Preview

### References

1. (1).
2. (2).
3. (3).
W. Thomson (LondKelvin): Papers (1887).Google Scholar
4. (4).
H. Lamb:Hydrodynamics, 6th edition (Cambridge, 1957).Google Scholar
5. (5).
J. W. Strutt (LordRayleigh):Philos. Mag.,18, 126 (1909).Google Scholar
6. (6).
J. J. Stoker:Water Waves (New York, N. Y., 1957).Google Scholar
7. (7).
G. Pezzoli:Meccanica,1(II), 41 (1967).
8. (8).
G. Pezzoli:Lincei-Rend. Sc. Fis. Mat. Nat.,52, 712 (1972).
9. (9).
G. Pezzoli:Lincei-Rend. Sc. Fis. Mat. Nat.,7,903 (1972).Google Scholar
10. (10).
G. B. Whitham:Linear and Nonlinear Waves (New York, N. Y., 1974).Google Scholar
11. (11).
C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal andR. M. Miura:Phys. Rev. Lett.,19, 1095 (1967).
12. (12).
V. E. Zakharov andA. R. Shabat:Sov. Phys. JETP,34, 62 (1972).
13. (13).
M. J. Ablowitz, D. J. Kaup, A. C. Newell andJ. Segur:Stud. Appl. Math.,53, 249 (1974).
14. (14).
F. Calogero:Nuovo Cimento B,31, 229 (1976).
15. (15).
F. Calogero andA. Degasperis:Nuovo Cimento B,39, 1 (1977).
16. (16).
V. E. Zakharov, S. V. Manakov, S. P. Novikov andL. P. Pitayevsky:Theory of Solitons. The Method of the Inverse Scattering Problem (Moscow, 1980).Google Scholar
17. (17).
M. J. Ablowitz andH. Segur:Solitons and the Inverse Scattering Transform (Philadelphia, 1981).Google Scholar
18. (18).
F. Calogero andA. Degasperis:Solitons and the Spectral Transform (Amsterdam, 1982).Google Scholar
19. (19).
A. R. Osborne, A. Provenzale andL. Bergamasco:Nuovo Cimento C,5, 597 (1982).
20. (20).
A. R. Osborne: in preparation forJ. Comput. Phys. (1982).Google Scholar
21. (21).
A. R. Osborne andA. Provenzale: in preparation forJ. Comput. Phys. (1982).Google Scholar
22. (22).
D. J. Korteweg andJ. DeVries:Philos. Mag.,39, 422 (1895).
23. (23).
H. Segur:J. Fluid Mech.,59, 721 (1973).
24. (24).
H. Segur:Proc. S.I.F., Course LXXX,Topics in Ocean Physics, edited byA. R. Osborne andP. Malanotte Rizzoli (Amsterdam, 1982).Google Scholar
25. (25).
M. J. Ablowitz andH. Segur:Stud. Appl. Math.,57, 13 (1977).
26. (26).
J. W. Miles:Stud. Appl. Math.,60, 59 (1979).

© Società Italiana di Fisica 1982

## Authors and Affiliations

• A. R. Osborne
• 1
• 2
• A. Provenzale
• 1
• 2
• L. Bergamasco
• 1
• 2
1. 1.Istituto di Cosmo-Geofisica del Consiglio Nazionale delle RicercheTorinoItalia
2. 2.Scuola di Specializzazione in Fisica Cosmica e Geofisica dell'UniversitàTorinoItalia